二項展開とは：定義・公式・3種類の展開と具体例解説

二項展開の公式は基本的に3つある。

なぜこのような3つの式があるのか、簡単な積の展開で説明することができます。

( a + b ) 2 = ( a + b ) ・ ( a + b ) = a ・ a + a ・ b + b ・ a + b ・ b = a 2 + 2 ・ a ・ b + b 2 {displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+aarette b+barette b=a^{2}+2\cdot aarette b+b^{2}}

( a - b ) 2 = ( a - b ) ・ ( a - b ) = a ・ a - a ・ b ・ a + b ・ b = a 2 - 2 ・ a ・ b + b 2 {displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}}となる。

( a + b ) ・ ( a - b ) = a ・ a - a ・ b + b ・ a - b ・ b = a 2 - b 2 {displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a_cdot a-a-cdot b+b__cdot a-b^{2}} [[a + b] - b + b ] [[b] - b = a ^{2} - b ^{2

n {\displaystyle n} が整数の場合( n ∈ Z {displaystyle n\ in \mathbb {Z} } )、パスカルの三角形を利用する。

To expand ( x + y ) 2 {displaystyle (x+y)^{2}} :

• 2行目を見つける パスカルの三角形（1、2、1）。
• expand x {displaystyle x} and y {displaystyle y} so x {displaystyle x} power goes down by 1 each time from n {displaystyle n} to 0 and y {displaystyle y} power goes up by 1 each time from 0 up to n {displaystyle n} ...となる。
• は、パスカルの三角形から正しい項を持つ数字を倍する。

したがって、( x + y ) 2 = 1 x 2 y 0 + 2 x 1 y 1 + 1 x 0 y 2 {displaystyle (x+y)^{2}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}} が成り立つ。

例えば、こんな感じです。

( 3 + 2 x ) 2 = 1・3 2・( 2 x ) 0 + 2・3 1・( 2 x ) 1 + 1・3 0・( 2 x ) 2 = 9 + 12 x + 4 x 2Displaystyle (3+2x)^{2}=1Cdot 3^{2}Cdot (2x)^{0}+2Cdot 3^{1}Cdot (2x)^{1}+1Cdot 3^{0}Cdot (2x)^{2}=9+12x+4x^{2} } {displaystyle (2x)^{1}+1Cdot 3x{2}{2x]{displaystyle (2x)^{2}=1Cdot 3^{1}Cdot 3^{0}Cadota

だから、ルールとして

( x + y ) n = a 0 x n y 0 + a 1 x n - 1 y 1 + a 2 x n - 2 y 2 + ⋯ + a n - 1 x 1 y n - 1 + a n x 0 y n {displaystyle (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-}1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}}

ここで、a i {displaystyle a_{i}} はパスカルの三角形の行n {displaystyle n} と位置i {displaystyle i} の数である。

事例紹介

( 5 + 3 x ) 3 = 1 ⋅ 5 3 ⋅ ( 3 x ) 0 + 3 ⋅ 5 2 ⋅ ( 3 x ) 1 + 3 ⋅ 5 1 ⋅ ( 3 x ) 2 + 1 ⋅ 5 0 ⋅ ( 3 x ) 3 {displaystyle(5+3x)^{3}=1Cdot 5^{3}Cdot (3x)^{0}+3Cdot 5^{2}Cdot (3x)^{1}+3Cdot 5^{1}Cdot (3x)^{2}+1Cdot 5^{0}Cdot (3x)^{3}} {1}Cdot 5^{3}Cdot (3x){1}+3Cdot 1x}=1Cadadot 5^{3}Cdot (3x)

= 125 + 75 ⋅ 3 x + 15 ⋅ 9 x 2 + 1 ⋅ 27 x 3 = 125 + 225 x + 135 x 2 + 27 x 3 {displaystyle =125+75cdot 3x+15cdot 9x^{2}+1cdot 27x^{3}=125+225x+135x^{2}+27x^{3}} Phatty = 125+75x+15x^{3} = 15+1cdot 27x^{3} Phatty = 125+75x+15x^{2}+15xxx{3} = 27x^{3}

( 5 - 3 x ) 3 = 1・5 3・ ( - 3 x ) 0 + 3・5 2・ ( - 3 x ) 1 + 3・5 1・ ( - 3 x ) 2 + 1・5 0・ ( - 3 x ) 3 {displaystyle (5-)3x)^{3}=1Cdot 5^{3}Cdot (-3x)^{0}+3Cdot 5^{2}Cdot (-3x)^{1}+3Cdot 5^{1}Cdot (-3x)^{2}+1Cdot 5^{0}Cdot (-3x)^{3}} {Cdot 5^{3}Cdot 5^{1}Cdot 5^{0}Cdot (-3x) {Cd}=1Cad}{Cdot5}{Cad}{Cd}{Cd}+1Cd}{Cd}{Cd}。

= 125 + 75 ⋅ ( - 3 x ) + 15 ⋅ 9 x 2 + 1 ⋅ ( - 27 x 3 ) = 125 - 223 x + 135 x 2 - 27 x 3 {displaystyle =125+75cdot (-3x)+15cdot 9x^{2}+1cdot (-27x^{3})=125-223x+135x^{2}-27x^{3} } } {Displaystyle =125+15cdot 9x^{3}+135cdot (-3x) {displaystyle =125+75cdot (-3x)+135x^{2}-28x{3}

( 7 + 4 x 2 ) 5 = 1・7 5・ ( 4 x 2 ) 0 + 5・7 4・ ( 4 x 2 ) 1 + 10・7 3・ ( 4 x 2 ) 2 + 10・7 2・ ( 4 x 2 ) 3 + 5・7 1・ ( 4 x 2 ) 4 + 1・7 0・ ( 4 x 2 ) 5 {displaystyle}を満たす。(7+4x^{2})^{5}=1Cdot 7^{5}Cdot (4x^{2})^{0}+5Cdot 7^{4}Cdot (4x^{2})^{1}+10Cdot 7^{3}Cdot(4x^{2})^{2}+10} 7^{2} Commentscdot (4x^{2})^{3}+5 Commentscdot 7^{1} Commentscdot (4x^{2})^{4}+1 Commentscdot 7^{0} Commentscdot (4x^{2})^{5}}

= 16807 + 12005 ⋅ 4 x 2 + 3430 ⋅ 16 x 4 + 490 ⋅ 64 x 6 + 35 ⋅ 256 x 8 + 1 ⋅ 1024 x 10 {displaystyle =16807+12005 ◇ 4x^{2}+3430 ◇ 16x^{4}+490 ◇ 256x^{8}+1 ◇ 1024x^{10}｝ ◇ 1xx{6} +35 ◇ 1xx{10} +35 ◇ 1xxx{10} +1 ◇ 1024x^{10

= 16807 + 48020 x 2 + 54880 x 4 + 31360 x 6 + 8960 x 8 + 1024 x 10 { {displaystyle \,=16807+48020x^{2}+54880x^{4}+31360x^{6}+8960x^{8}+1024x^{10}}} { {displaystyle} {displaystyle} {displaystyle}} {displaystyle} {displaystyle} {displaystyle} {displaystyle}}} {displaystyle