外積（ベクトル積）とは

定義と座標表示

右手系の直交座標系で、a = (a1, a2, a3) と b = (b1, b2, b3) を表すとき、外積 a × b は次のベクトルで与えられる。

• (a2 b3 − a3 b2, a3 b1 − a1 b3, a1 b2 − a2 b1)

主な性質

外積には、次のような標準的な代数的・幾何学的性質がある。

• 反交換的: a × b = −(b × a)
• 加法に関する分配法則: a × (b + c) = a × b + a × c
• スカラー倍: (λa) × b = λ(a × b) = a × (λb)
• 垂直性: a × b は a と b の両方に直交する
• 大きさ: |a × b| = |a| |b| sin θ。ここで θ は a と b のなす角であり、これは a と b が作る平行四辺形の面積に等しい

応用と例

外積は多くの実用的な場面に現れる。例としては次のようなものがある。

• 物理学: トルク τ = r × F、角運動量 L = r × p、磁気ローレンツ力 F = q(v × B)
• 幾何学と工学: 2つの接線方向から面の法線ベクトルを求めることや、3Dモデリングで三角形の向きを判定すること
• 面積と体積の確認: 大きさは面積を与え、さらに第3のベクトルと組み合わせるとスカラー三重積 (a × b) · c になり、a, b, c が張る平行六面体の体積に等しい

一般化と区別

二つのベクトルを入力としてベクトル値を返す標準的な外積は、3次元ユークリッド空間に特有であり、これと関連する構成が七次元にもあるが、そちらはあまり一般的ではない。より一般には、外積代数が高次元でのウェッジ積のような道具を与え、さらにホッジ・スター作用素が、選ばれた計量と向きをもつ空間で二重ベクトルをベクトルへ変換する。比較対象としてよく挙げられるのが内積で、こちらはスカラーを返し、垂直な大きさではなく射影を測る。

歴史的・実用的な注意

ベクトルの外積は、19世紀のベクトル解析と古典力学の発展の中で現れた。今日では、向きと面積の情報を簡潔に表せるため、物理学、コンピュータグラフィックス、ロボット工学、工学で標準的な道具となっている。用いる際には、座標系が右手系か左手系かに注意が必要であり、結果の符号はその約束に依存する。