弾性衝突

弾性衝突とは、2つの物体が衝突し、ほとんど変形せずに跳ね返ってくることをいう。例えば、2つのゴムボールが弾むと弾性衝突になります。2台の車がぶつかると、車がつぶれて跳ね返らないので、非弾性衝突になります。完全な弾性衝突（最も単純なケース）では、運動エネルギーが失われないので、衝突後の2つの物体の運動エネルギーは、衝突前の運動エネルギーの合計と等しくなります。弾性衝突は、運動エネルギーが他の形態（熱や音）に正味で変換されない場合にのみ発生します。弾性衝突を扱うときに覚えておくべきもう1つのルールは、運動量が保存されるということです。

不等質量の弾性衝突の一例

一次元ニュートン

添え字1、2で示される2つの粒子を考える。m₁ と m₂ を質量、u₁ と u₂ を衝突前の速度、v₁ と v₂ を衝突後の速度とする。

運動量保存を利用して1つの式を書く

弾性衝突なので、衝突前の運動量の総和と衝突後の運動量の総和は同じになる。と考えると、運動量（p）は次のように計算されます。

p = m v {displaystyle ╱︎p=mv} ╱︎p=mv $\,\!p=mv$

という衝突前の運動量を計算することができる。

m 1 u 1 + m 2 u 2 {displaystyle \!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}} {displaystyle \! $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}$

となり、衝突後の運動量は

m 1 v 1 + m 2 v 2 {displaystyle \!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}} {displaystyle \! $\,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

この2つを等しくすると、最初の方程式が得られます。

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

エネルギー保存則を利用して2つ目の数式を書く

2つ目のルールは、「総運動エネルギーは変わらない」、つまり「初期の運動エネルギーと最終的な運動エネルギーは等しい」というものです。

運動エネルギーの式は

m v 2 2 {displaystyle {}frac {mv^{2}}{2}}. ${\frac {mv^{2}}{2}}$

そこで、先ほどと同じ変数を使って初期の運動エネルギーは

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 {displaystyle { {frac {m_{1}u_{1}^{2}}}+{frac {m_{2}u_{2}^{2}}}} {displaystyle { {frac #2}}} {displaystyle #2 ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}$

最終的な運動エネルギーは

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 .{displaystyle {frac {m_{1}v_{1}^{2}}+{frac {m_{2}v_{2}^{2}}} ｝.} ${\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

両者が等しくなるように設定する（総運動エネルギーは変わらないので）。

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 .{displaystyle {m_{1}u_{1}^{2}}+{frac {m_{2}u_{2}^{2}}={frac {m_{1}v_{1}^{2}}}+{frac {m_{2}v_{2}^{2}}}} ｝.} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

この2つの方程式を合わせると

これらの方程式は、u_i がわかっているときに、v_i を求めるために直接解くこともできるし、その逆もできる。運動量保存、エネルギー保存のいずれかを用いて解くことができる問題の例を以下に挙げる。

例えば、こんな感じです。

ボール1：質量＝3kg、速度＝4m/s

ボール2：質量＝5kg、速度＝-6m/s

衝突の後。

ボール1：v=-8.5m/s

ボール2: v = unknown ( v で表すことにします )

運動量保存を利用する。

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 .{\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.$

3 ＊ 4 ＋ 5 ＊ ( - 6 ) = 3 ＊ ( - 8.5 ) ＋ 5 ＊ v { {displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v} }. $\ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v$

掛け算をしてから、両辺から3 ∗ ( - 8.5 ) {displaystyle 3*(-8.5)} を引くと、次のようになります。 $3*(-8.5)$

12 - 30 + 25.5 = 5∗ v { {displaystyle \ 12-30+25.5=5*v}}. $\ 12-30+25.5=5*v$

左辺の和をとり、5で割ると {displaystyle 5} となります。 $5$

7.5 5 = v {displaystyle {}frac {7.5}{5}}=v} ${\frac {7.5}{5}}=v$ , そして最後の割り算をすると次のようになります。 1.5 = v {displaystyle \ 1.5=v} となります。 $\ 1.5=v$

また、この問題は「エネルギー保存法」を使っても解くことができました。

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 {displaystyle {m_{1}u_{1}^{2}}+{frac {m_{2}u_{2}^{2}}}={frac {m_{1}v_{1}^{2}}+{frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}$

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 = 3 ( - 8.5 ) 2 + 5 v 2 2 {displaystyle {frac {3*4^{2}}+{frac {5*(-6)^{2}}}={frac {3(-8.5)^{2}}}+{frac {5v^{2}}}} {2 ${\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}$