弾性衝突の定義と法則：運動エネルギー・運動量保存の基礎

弾性衝突の定義と法則を図解と式でわかりやすく解説。運動エネルギーと運動量保存の基本原理や応用例を丁寧に紹介。

著者: Leandro Alegsa

弾性衝突とは、2つの物体が衝突し、ほとんど変形せずに跳ね返ってくることをいう。例えば、2つのゴムボールが弾むと弾性衝突になります。2台の車がぶつかると、車がつぶれて跳ね返らないので、非弾性衝突になります。完全な弾性衝突（最も単純なケース）では、運動エネルギーが失われないので、衝突後の2つの物体の運動エネルギーは、衝突前の運動エネルギーの合計と等しくなります。弾性衝突は、運動エネルギーが他の形態（熱や音）に正味で変換されない場合にのみ発生します。弾性衝突を扱うときに覚えておくべきもう1つのルールは、運動量が保存されるということです。

基本的な保存則

弾性衝突では主に次の2つの保存則が成立します。

  • 線形運動量の保存：衝突前後で系全体の運動量の総和は変わりません。1次元の場合、質量 m1, m2 と速度 v1, v2（衝突後は v1', v2'）について

m1·v1 + m2·v2 = m1·v1' + m2·v2'

  • 運動エネルギーの保存：完全弾性衝突では、運動エネルギー（1/2 m v^2 の和）も変わりません。

1/2 m1·v1^2 + 1/2 m2·v2^2 = 1/2 m1·v1'^2 + 1/2 m2·v2'^2

1次元・完全弾性衝突の解

上の2式を同時に解くと、1次元における完全弾性衝突の衝突後の速度は次のように表されます（初速度 v1, v2）。

v1' = ((m1 - m2)/(m1 + m2))·v1 + (2 m2/(m1 + m2))·v2

v2' = (2 m1/(m1 + m2))·v1 + ((m2 - m1)/(m1 + m2))·v2

特別な場合：

  • 質量が等しい（m1 = m2）のとき、互いの速度を「入れ替える」： v1' = v2, v2' = v1。
  • 一方の質量が非常に大きい（m2 >> m1）場合、小さい物体はほぼ反射して速度が逆になる（v1' ≈ −v1）、大きい物体の速度はほとんど変わらない。

反発係数（復元係数）

現実の衝突は必ずしも完全弾性ではないため、反発係数 e（0 ≤ e ≤ 1）を用いて衝突の「弾性度合い」を表します。定義は相対速度の比です。

e = (相対速度の大きさ〈衝突後〉) / (相対速度の大きさ〈衝突前〉)

つまり1次元では e = (v2' - v1') / (v1 - v2)。e = 1 が完全弾性、e = 0 が完全に非弾性（2物体がくっつく）を表します。

実世界での注意点と応用

  • 完全に弾性な衝突は理想化されたモデルであり、マクロな物体ではほとんど存在しません。多くは部分的に非弾性で、衝突時に音や熱、内部変形へのエネルギー散逸があります。
  • 一方、原子や分子レベルの衝突（気体分子など）は衝突の過程で運動エネルギーのやり取りが弾性的に近い場合が多く、統計力学や気体の運動論で弾性衝突の仮定が重要になります。
  • スポーツ用具（テニスボールやスーパーボール）、ビリヤード、衝突実験、衝突解析（安全工学）など、弾性・非弾性の性質を用いる場面は多岐にわたります。

簡単な数値例

例：m1 = 1 kg が v1 = 2 m/s、m2 = 1 kg が v2 = 0 の場合（等質量、完全弾性）:

衝突後は速度が入れ替わり、v1' = 0, v2' = 2 m/s となる。

まとめ

弾性衝突は「運動量保存」と「運動エネルギー保存」が同時に成り立つ理想的な衝突であり、1次元では明確な解析解があります。現実では完全に弾性であることは稀ですが、モデルとして非常に有用であり、物理学や工学で広く応用されています。

不等質量の弾性衝突の一例Zoom
不等質量の弾性衝突の一例

一次元ニュートン

添え字1、2で示される2つの粒子を考える。m1 と m2 を質量、u1 と u2 を衝突前の速度、v1 と v2 を 衝突後の速度とする。

運動量保存を利用して1つの式を書く

弾性衝突なので、衝突前の運動量の総和と衝突後の運動量の総和は同じになる。と考えると、運動量（p）は次のように計算されます。

p = m v {displaystyle ╱︎p=mv} ╱︎p=mv {\displaystyle \,\!p=mv}

という衝突前の運動量を計算することができる。

m 1 u 1 + m 2 u 2 {displaystyle \!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}} {displaystyle \! {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}

となり、衝突後の運動量は

m 1 v 1 + m 2 v 2 {displaystyle \!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}} {displaystyle \! {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}

この2つを等しくすると、最初の方程式が得られます。

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}} {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}

エネルギー保存則を利用して2つ目の数式を書く

2つ目のルールは、「総運動エネルギーは変わらない」、つまり「初期の運動エネルギーと最終的な運動エネルギーは等しい」というものです。

運動エネルギーの式は

m v 2 2 {displaystyle {}frac {mv^{2}}{2}}. {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}}

そこで、先ほどと同じ変数を使って初期の運動エネルギーは

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 {displaystyle { {frac {m_{1}u_{1}^{2}}}+{frac {m_{2}u_{2}^{2}}}} {displaystyle { {frac #2}}} {displaystyle #2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}}

最終的な運動エネルギーは

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 .{displaystyle {frac {m_{1}v_{1}^{2}}+{frac {m_{2}v_{2}^{2}}} ｝.} {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.}

両者が等しくなるように設定する（総運動エネルギーは変わらないので）。

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 .{displaystyle {m_{1}u_{1}^{2}}+{frac {m_{2}u_{2}^{2}}={frac {m_{1}v_{1}^{2}}}+{frac {m_{2}v_{2}^{2}}}} ｝.} {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.}

この2つの方程式を合わせると

これらの方程式は、ui がわかっているときに、vi を求めるために直接解くこともできるし、その逆もできる。運動量保存、エネルギー保存のいずれかを用いて解くことができる問題の例を以下に挙げる。

例えば、こんな感じです。

ボール1：質量＝3kg、速度＝4m/s

ボール2：質量＝5kg、速度＝-6m/s

衝突の後。

ボール1：v=-8.5m/s

ボール2: v = unknown ( v で表すことにします )

運動量保存を利用する。

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 .{\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.} {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.}

  3 ＊ 4 ＋ 5 ＊ ( - 6 ) = 3 ＊ ( - 8.5 ) ＋ 5 ＊ v { {displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v} }. {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v}

掛け算をしてから、両辺から3 ∗ ( - 8.5 ) {displaystyle 3*(-8.5)} を引くと、次のようになります。 {\displaystyle 3*(-8.5)}

  12 - 30 + 25.5 = 5∗ v { {displaystyle \ 12-30+25.5=5*v}}. {\displaystyle \ 12-30+25.5=5*v}

左辺の和をとり、5で割ると {displaystyle 5} となります。 {\displaystyle 5}

7.5 5 = v {displaystyle {}frac {7.5}{5}}=v}{\displaystyle {\frac {7.5}{5}}=v} , そして最後の割り算をすると次のようになります。   1.5 = v {displaystyle \ 1.5=v} となります。 {\displaystyle \ 1.5=v}

また、この問題は「エネルギー保存法」を使っても解くことができました。

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 {displaystyle {m_{1}u_{1}^{2}}+{frac {m_{2}u_{2}^{2}}}={frac {m_{1}v_{1}^{2}}+{frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}} {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}}

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 = 3 ( - 8.5 ) 2 + 5 v 2 2 {displaystyle {frac {3*4^{2}}+{frac {5*(-6)^{2}}}={frac {3(-8.5)^{2}}}+{frac {5v^{2}}}} {2 {\displaystyle {\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}}

両辺に2 {displaystyle 2}{\displaystyle 2} を掛けてから、必要な乗算を全て行うと、次のようになります。

  48 + 180 = 216.75 + 5 v 2 {displaystyle \ 48+180=216.75+5v^{2}}}. {\displaystyle \ 48+180=216.75+5v^{2}}

左の数字を足し、両辺から 216.75 {displaystyle 216.75}{\displaystyle 216.75} を引き、5 {displaystyle 5}{\displaystyle 5} で割ると、こうなる。

  2.25 = v 2 {displaystyle} 2.25=v^{2}} {\displaystyle \ 2.25=v^{2}}

両辺の平方根をとると、v = ± 1.5 {displaystyle v=pm 1.5} という答えが得られます。{\displaystyle v=\pm 1.5}.

残念ながら、v { {displaystyle v}{\displaystyle v} が正か負かを知るには、まだ運動量の保存を使う必要があります。

質問と回答

Q: 弾性衝突とは何ですか?


A: 弾性衝突とは、2つの物体が衝突し、ほとんど変形せずに跳ね返ることです。

Q: 弾性衝突の例を教えてください。
A: 2つのゴムボールが跳ね返るのは弾性衝突の例です。

Q: 非弾性衝突とは何ですか?


A: 非弾性衝突とは、2つの物体が衝突してつぶれ、跳ね返らないことです。

Q: 非弾性衝突の例は?


A: 2台の車がぶつかるのは非弾性衝突の例です。

Q: 完全弾性衝突ではどうなりますか?


A: 完全弾性衝突では、運動エネルギーは失われないので、衝突後の2つの物体の運動エネルギーは衝突前の運動エネルギーの合計と等しくなります。

Q: 弾性衝突はどのようにして起こるのですか?


A: 弾性衝突は、運動エネルギーが熱や音のような他の形に正味変換されない場合にのみ起こります。

Q: 弾性衝突では何が保存されますか?


A: 弾性衝突では運動量は保存されます。


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