Eulerの公式：複素指数関数と三角関数の基本関係

式と解釈

明示的には e^{ix} = cos x + i sin x と書かれる。これは、純虚数の指数関数が単位円上の点に対応することを示している。すなわち、実部は cos x、虚部は sin x である。代数的には、この公式により任意のゼロでない複素数は極形式 r e^{iθ} = r(cos θ + i sin θ) で表せる。この表現は、大きさ r と方向 θ を分離する。幾何学的には、e^{iθ} を掛けることは複素平面上で角 θ だけ回転させることに対応し、この考え方は数学と工学の多くの分野で利用されている。多くの文献で示される簡単な特別例として、e^{i2π} = 1 および e^{iπ} = -1 がある。後者からは、5つの基本定数を結び付けるものとして知られるEulerの等式 e^{iπ} + 1 = 0 が得られる。

導出と関連する恒等式

Eulerの公式を正当化する標準的な方法はいくつかある。ひとつは、指数関数、余弦関数、正弦関数のべき級数展開を用いる方法である。これらの級数はすべての複素数の引数に対して収束するため、e^{ix} の実部と虚部をまとめると、それぞれ cos x と i sin x が得られる。別の方法では f(x)=e^{ix} とおき、f' = i f および f(0)=1 を確かめる。この微分方程式を解いても同じ関係式が導かれる。Eulerの公式はド・モアブルの定理と密接に関係し、正弦および余弦の加法定理などの恒等式を支える。ここでの複素数については、複素数を参照されたい。

応用と例

Eulerの公式は理論上の関係にとどまらず、実用面でもきわめて有用である。代表的な応用には次のものがある。

• 信号処理とフーリエ解析：正弦波を複素指数関数として表し、波形の操作や変換を簡単にする。
• 電気工学：フェーザ表記では e^{iωt} を用いて、交流の電流と電圧を簡潔に表現する。
• 量子力学と波動物理学：複素指数関数は、多くの系における平面波と時間発展を記述する。
• 幾何学と回転：単位複素数による乗算は、平面上の回転を効率よく実行する。

三角関数の基礎に関心がある場合は、三角関数を参照できる。

歴史的事項と拡張

この関係式は、1748年にこれを発表したレオンハルト・オイラーにちなんで名付けられた。当初の解説では実数の角が重視されたが、級数に基づく導出は、この公式が複素数の引数にも拡張されることを明らかにする。すなわち、cos と sin を解析接続によって定義すれば、任意の複素数 z に対して e^{iz} = cos z + i sin z が成り立つ。このことから複素対数や多価の位相に関する有用な一般化が導かれる。ただし、e^{iθ} は周期的であるため、偏角の分枝の扱いには注意が必要である。

意義と注目すべき事実

Eulerの公式は、代数学、解析学、幾何学の交点に位置する。定数係数をもつ線形微分方程式が複素指数関数によって簡単になる理由であり、フーリエ級数とフーリエ変換の代数的基盤でもある。この公式は、指数関数、虚数単位、実数を、ひとつの簡潔な式の中で結び付けている。より広い話題との関連については、複素解析および振動現象に関する入門的な解説を参照されたい。