微積分学の基本定理：微分と積分を結ぶ中心原理

定理の内容と二つの部分

この定理は通常、相補的な二つの部分として述べられる。非形式的には、次のように表せる。

• 第1部（積分の微分）：f がある区間で連続であり、F(x) = ∫_a^x f(t) dt とする。このとき F は微分可能であり、F'(x) = f(x) となる。すなわち、下端を固定し上端を変数とする定積分を作ると、f の原始関数が得られる。
• 第2部（原始関数による計算）：f がある区間で原始関数 G をもち（すなわち G' = f）、a から b までの定積分は G(b) − G(a) に等しい。これはニュートン＝ライプニッツの公式とも呼ばれ、定積分を計算する際に用いられる実用的な規則である。

条件と一般化

初等的な扱いでは、被積分関数の連続性が一般的な仮定となる。これは積分の存在と、その結果として得られる原始関数の良好な性質を保証するためである。より高度な形では連続性の条件は緩和される。たとえば f がリーマン積分またはルベーグ積分の意味で可積分なら、より弱い結論がほとんど至る所で成り立ち、測度論的な定式化では、ほとんど至る所での微分可能性について正確な記述が与えられる。基本的な考え方は、グリーンの定理、ストークスの定理、発散定理などの結果として高次元にも拡張される。

例と応用

二つの簡単な例によって、この定理の働きを示せる。∫_0^π cos x dx を計算するには、原始関数 G(x)=sin x を取り、G(π)−G(0)=0−0=0 と評価する。被積分関数から原始関数を作る例として、F(x)=∫_1^x t^2 dt と定めると、第1部より F'(x)=x^2 であり、F(x) は (1/3)(x^3−1) に等しい。実際の応用は、面積や累積変化量の計算から、微分方程式の解法、変化率と累積量が関係する物理系の解析まで広がっている。

歴史と特記事項

積分と微分の結び付きは、17世紀にアイザック・ニュートンとゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツの研究の中で現れた。その後、仮定と証明を明確にした19世紀の数学者たちによって、より確かな解析学的基礎の上に置かれた。この基本定理は、微積分学の二つの中心的操作を統一する橋渡しとしてしばしば説明され、純粋数学と応用数学の双方で最も頻繁に用いられる結果の一つであり続けている。

要点

• この定理は、原始関数を構成する方法と定積分を計算する方法の両方を与える。
• 古典的な定式化では、被積分関数の連続性、または適切な可積分性が重要である。
• その基本精神は多くの一般化に受け継がれ、解析学におけるより広い積分・微分双対性の原型となっている。