f(x) — 関数表記の意味と一般的な用法

形式的な意味と記法

形式的には、関数とは定義域と呼ばれる集合から終域と呼ばれる別の集合への写像である。これを簡潔に表すには、f: X → Y とし、f(x) = 式 と定義する。定義域は f(x) が定義される x の集合であり、値域（像）は実際にとりうる値の集合である。記法は状況により異なり、引数が明らかな場合には f(x) の代わりに g(t)、h(z)、あるいは単に f を用いることもある。

一般的な例

• 多項式：f(x) = x^2 + 2x + 1
• 三角関数：f(x) = sin(x)
• 指数関数と対数関数：f(x) = e^x、f(x) = log(x)（定義域に制限がある）
• 区分的に定義される関数、および離散集合や抽象集合上の関数

演算と性質

関数は、(f∘g)(x) = f(g(x)) のように合成できるほか、一対一対応である場合には逆にできる。適切な場合には、加算、乗算、微分、積分も可能である。重要な性質には連続性、単調性、周期性、微分可能性があり、これらは f(x) の基本的な意味を変えるのではなく、その振る舞いを記述する。

歴史とその他の用法

関数という考え方は、17世紀から18世紀の数学を通じて発展した。簡潔な記法 f(x) は後の世紀に標準となり、オイラーや他の古典的解析学者の影響によるものとされる。数学以外では、f(x) という形式はプログラミングで非公式に用いられるほか、ラベルとして大衆文化にも現れる。たとえば、音楽やブランディングにおいて様式化された名称として使われることがある。