六面体の定義と種類—立方体・凸凹・位相分類ガイド

六面体の定義と種類を図解でわかりやすく解説。立方体から凸凹・位相分類まで、数学好きも学習者も納得の完全ガイド。

六面体（複数形：hexahedra）とは、6つの面を持つ多面体のことである。例えば立方体は、すべての面が正方形で、各頂点の周りに3つの正方形がある正六面体である。立方体の基本的なトポロジー上の数は、面 F = 6、頂点 V = 8、辺 E = 12 であり、オイラーの公式 V − E + F = 2 を満たす（ここでは 8 − 12 + 6 = 2）。

位相（トポロジー）による分類

位相的に異なる凸六面体は7つ存在すると知られている。そのうちの1つは鏡像と区別できるキラル（鏡像が別形になる）型で、実際には鏡像対として2つの形が存在する。ここで言う「位相的に異なる」とは、面と頂点のつながり（面・辺・頂点の配置）が本質的に異なり、辺の長さや角度を連続的に変えるだけでは一方から他方に変形できないことを意味する。

さらに、トポロジー的に異なる3つの六面体があり、これらは凹型（非凸）の図形としてしか実現できない。つまり、六面体の全体集合は「凸型の7種類（うち1つは鏡像対）＋凹型の3種類」といった組み合わせで記述される。

頂点・辺・面の関係と代表例

六面体は面の数が6なので、一般にオイラーの公式から辺の数は次の関係を満たす：

• F = 6 なので E = V + 4（E は辺の数、V は頂点の数）

また、各頂点には少なくとも3本の辺が集まるため 2E = Σ（各頂点の次数） ≥ 3V が成り立ち、これと E = V + 4 を組み合わせると頂点数 V の取り得る範囲は 5 ≤ V ≤ 8 であることがわかる。実際に存在する組み合わせと代表例は次の通りである：

• V = 5, E = 9：三角二重角錐（triangular bipyramid、2つの四面体を底面の三角形で接合したもの）— 6つの三角形の面を持つ
• V = 6, E = 10：五角錐（pentagonal pyramid）など — 底面が五角形で側面が三角形の組合せ
• V = 7, E = 11：頂点の配置が異なる多様な型（代表例は複数の辺分割や切断によって得られる）
• V = 8, E = 12：立方体（cube）や一般の平行六面体（parallelepiped）、直方体など — 面は四辺形が中心

したがって、六面体の各面は三角形・四角形・五角形などさまざまな多角形になり得る。面の形状や配置によって同じ6面でも異なるトポロジーとなる。

特別な六面体と性質

• 正六面体（立方体）：正多面体として唯一の六面体。すべての面が合同な正方形で、対称性が非常に高い。
• 平行六面体（parallelepiped）：3組の平行面を持つ六面体の総称で、立方体や直方体、ひずんだ直方体（菱形を面とするもの）などを含む。
• キラルな型：位相的には同一でも鏡像との間で一致しない（右手系・左手系のような）配置を持つ型が存在し、これが鏡像対として扱われる。
• 凹六面体：一部の頂点で内角（多面体内部に向かう角）ができる形で、凸包から凹みがあるため凸型では実現できないトポロジーを持つ。

可視化と解析の方法

六面体の分類や理解には以下の手法が有効である：

• Schlegel 図（多面体を一つの面に投影した平面図）や展開図（ネット）でつながりを視覚化する。
• グラフ理論・平面グラフとして辺・頂点の配置を調べ、位相的同値性を判定する。
• 工学分野では有限要素法（FEM）で使われるヘキサ要素（hexahedral element）があり、形状や配列が計算精度に影響するため幾何学的特性の理解が重要である。

まとめると、「六面体」は単に「面が6つある多面体」を指す総称であり、立方体のような非常に対称な例から、凹型の特殊なトポロジーを持つものまで多様である。位相的分類（7種類の凸型＋鏡像対、凹型で3種類）や V–E–F の基本関係、代表的な具体例を押さえておくと理解が進む。

質問と回答

Q: 六面体とは何ですか?

Q: 立方体は六面体と見なせますか?

Q: 位相的に異なる凸正六面体はいくつあるか?

Q: 2つの多面体が位相的に異なることは可能か?

Q: トポロジー的に異なる7つの凸六面体のうち、1つの鏡像の形はいくつ存在するか?

Q: トポロジー的に明瞭な六面体で、凹面としてしか実現できないものはあるか?

Q: トポロジー的に異なる凸の六面体の1つを、トポロジー的に異なる凹の六面体の1つに歪めることはできますか?

文字で検索