数学的論理学における独立性：定義・証明・主要な例

形式的な見方

よく用いられる見方には、互いに同値な二つの立場がある。構文論的には、文φが理論Tから独立であるとは、T ⊬ φかつT ⊬ ¬φ、すなわちφもその否定もTから証明できないことをいう。意味論的には、T∪{φ}を満たすモデルとT∪{¬φ}を満たすモデルが存在するとき、φはTから独立である。したがって、Tはすべてのモデルにおいてφを含意しない。多くの形式体系では、完全性定理がこれら二つの見方を結び付ける。

独立性の確立方法

• 相対的無矛盾性・モデル構成：T+φのモデルとT+¬φのモデルを示す。しばしば、組合せ論的性質や集合論的性質が異なるモデルを構成する。
• 強制法：特定の文が成り立つ、または成り立たない集合論のモデルを構成するために導入された方法である。連続体に関する独立性の結果を確立する際に著名である。
• 保存性と拡張：公理を追加しても矛盾が導入されないこと、あるいはその公理が既存の公理から導出できないことを示す。

例と区別

古典的な重要例には、ゲーデルの不完全性結果がある。これは、ペアノ算術のように十分強い理論には、その理論内では証明不能な真の文が含まれることを示し、理論と特定のゲーデル文との独立性をもたらす。集合論では、連続体仮説と選択公理がよく知られた例である。ゲーデルとコーエンは、これらの主張が、証明可能性とモデルの存在という意味で、標準的なツェルメロ＝フレンケル公理系（ZFC）から独立であることを示した。独立性は、アルゴリズム的な決定可能性と同じではない。ある文は理論から証明可能な意味で独立であっても、別の意味ではアルゴリズム的に決定可能でありうる。

意義と帰結

独立性の結果は、公理体系の限界を明らかにし、数学において追加の公理や原理をどのように選ぶかの指針となる。これらは、問いを解決するために数学的実践が仮定を正当に追加しうる箇所を示すとともに、相対的無矛盾性や代替的な基礎づけの研究を促す。論理学と数学基礎論において、独立性は理論の表現力と演繹力を理解するための重要な手段である。