数学的帰納法

数学的帰納法は数学的真理を証明する特別な方法である。これは、すべての自然数（すべての正の整数）について、何かが真であることを証明するために使用することができます。考え方は、次のようなものです。

  • 最初のケースでは何かが当てはまる
  • それは次のケースでも常に同じ

而して

  • それはどのケースでも同じこと

数学の丁寧な言葉で

  • 証明は帰納法であることを述べよ。( n {n {displaystyle n} nis the induction variable.)
  • n {\displaystyle nn}が1のとき、その文が真であることを示してください。
  • ステートメントが任意の自然数nに対して真であると仮定するn。これを帰納ステップと呼ぶ）。
    • 次の数、n + 1 {displaystyle n+1} .{\displaystyle n+1}

1については真だから、1+1（＝2、帰納ステップで）については真だから、2+1（＝3）については真だから、3+1（＝4）については真だから、というように。

帰納法による証明の例。

すべての自然数nについて、次のことを証明しなさい。

1 + 2 + 3 + . . . .+ ( n - 1 ) + n = 1 2 n ( n + 1 ) {displaystyle 1+2+3....)} } {\displaystyle 1+2+3+....+(n-1)+n={\tfrac {1}{2}}n(n+1)}

証明してくれ

まず，文は次のように書くことができます：すべての自然数nについて

2 ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) {\displaystyle 2 _{k=1}^{n}k=n(n+1)} } ∑ k = 1 n k = n (n + 1) {\displaystyle 2 {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n}k=n(n+1)}

Nの帰納法で

まず、n=1の場合。

2 ∑ k = 1 1 1 k = 2 (1 ) = 1 (1 + 1 ) {\displaystyle 2 _{k=1}^{1}k=2(1)=1(1+1)} }{\displaystyle 2\sum _{k=1}^{1}k=2(1)=1(1+1)},

ということは、これは本当なんですね。

次に、ある n=n0 について、その文が真であると仮定します。つまり

2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) {displaystyle 2 _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1)}}} ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) {displaystyle 2 {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1)}

とすると、n=n0+1の場合。

2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k {\displaystyle 2sum _{k=1}^{{{n_{0}}+1}k}}} {\display style 2 {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{{n_{0}}+1}k}

書き換え可能

2 (∑ k = 1 n 0 k + ( n 0 + 1 ) ) )♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ {\displaystyle 2\left(\sum _{k=1}^{n_{0}}k+(n_{0}+1)\right)}

2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) , {\displaystyle 2 _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1),} , } , } , } , {2 ∑ k = 1 n 0 k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1),}

2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k = n 0 ( n 0 + 1 ) + 2 ( n 0 + 1 ) = ( n 0 + 1 ) ( n 0 + 2 ) {displaystyle 2 _{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+2)} } } {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+2)}

したがって、証明は正しい。

似たような証明

数学的帰納法は、しばしば開始値0（むしろ1ではなく）で記述されます。実際には、様々な開始値を使っても同じようにうまくいく。開始値が3の場合の例を示す。 n {\displaystyle nn} -sided polygonの内角の和は、 (n - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180}{\displaystyle (n-2)180}度である。

初期値は３で、三角形の内角は ( 3 - 2 ) 180 {\displaystyle (3-2)180}{\displaystyle (3-2)180}度である。n {\displaystyle nn} -sided polygonの内角が (n - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180}{\displaystyle (n-2)180}度だとする。図をn + 1 {\displaystyle n+1}にする三角形をつける。{\displaystyle n+1}-辺の多角形、そしてその角度の数を 180 度増やす ( n - 2 ) 180 + 180 = ( n + 1 - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180+180=(n+1-2)180}{\displaystyle (n-2)180+180=(n+1-2)180}度。証明された。

数学的帰納法による証明が機能する数学的対象は非常に多い。専門用語では，整列集合と呼ばれています．

帰納的定義

同じ考えでも、証明するだけでなく、定義するためにも働くことがあります。

Define n {displaystyle n}n th degree cousin.

  • A 1 {displaystyle 1{\displaystyle 1}} st degree cousin is the child of the parent's sibling.
  • A n + 1 { } {\displaystyle n+1}st degree cousin is child of a parent's n { } th degree cousin. A n + 1 { } st degree cousin is a child of a parent's n { } nth degree cousin.

数学的帰納法に基づいた自然数の算術に関する公理の集合があります。これは「Peanoの公理」と呼ばれている．不定記号は｜と＝であり，公理は以下の通りである．

  • | は自然数
  • n {pos(100,000)}がn自然数ならば n | {pos(100,000)}{\displaystyle n|}は自然数だ。
  • If n | = m | {displaystyle n|=m|} {\displaystyle n|=m|}then n = m {displaystyle n=m}. {\displaystyle n=m}

そして，足し算や掛け算などの操作を数学的帰納法で定義することができます．例えば

  • m + | = m | {displaystyle m+|=m|}}. {\displaystyle m+|=m|}
  • m + n | = ( m + n ) | {displaystyle m+n|=(m+n) |}} {displaystyle m+n|=(m+n) |}. {\displaystyle m+n|=(m+n)|}

質問と回答

Q:数学的帰納法とは何ですか?


A:数学的帰納法とは、数学的真理を証明する特別な方法で、ある時点からすべての自然数または正数に対して何かが真であることを証明するために使うことができます。

Q:帰納法による証明はどのように進められるのですか?


A:帰納法による証明は，一般に，nにわたって証明することを述べて，nが1のときにその文が正しいことを示し，任意の自然数nに対してその文が正しいと仮定し，次の数（n+1）に対してそれが正しいことを示すことによって進められます．

Q:帰納的ステップで何かを仮定するとはどういう意味ですか?


A:帰納的ステップで仮定するとは、根拠や証拠を示さずに、それが真であると受け入れることを意味します。これは、さらなる調査の出発点となるものです。

Q:数学的帰納法では、どのような数が使われますか?


A:数学的帰納法では、ある時点から一般的に自然数または正の数を用います。

Q:次の数（n+1）に対して何かが真であることを示すにはどうしたらよいのでしょうか?


A:次の数（n+1）でも正しいことを示すには、まずn=1のときに正しいことを証明し、帰納法のステップで得た仮定を使って、n+1でも正しいことを示さなければなりません。

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