慣性モーメント（角質量 kg·m²）とは：定義・単位・計算式と例

慣性モーメント（角質量）とは何かを定義・単位・計算式と具体例で分かりやすく解説。公式の導出や応用例、単位変換も網羅。

慣性モーメント（I {displaystyle I} ）は、「角質量」（kg-m² ）とも呼ばれ、回転体の回転に対する慣性のことである。

回転体の角加速度または減速度に対する抵抗で、質量と回転軸からの垂直距離の2乗の積に等しい。

定義と基本式

慣性モーメント I は、質量分布と回転軸からの距離によって決まります。離散質点系では次の式で表されます：

I = Σ m_i r_i²

連続体の場合は積分で表します：

I = ∫ r² dm

ここで r は各質量要素から回転軸までの垂直距離、dm はその質量要素です。密度が一様な場合は dm = ρ dV を用いて体積要素ごとに積分します。

単位と次元

• SI単位は kg·m²（キログラム・平方メートル）。
• 次元は [M][L²]（質量×長さ²）です。
• 慣性モーメントは力学的には「回転に対する慣性の度合い」を表し、トルク τ と角加速度 α の関係は τ = I α で与えられます。

代表的な形状の慣性モーメント（回転軸が図示の中心軸または明記した軸）

• 細長い均質棒（長さ L）を中心軸（棒の中点、軸は棒に垂直）で回す： I = (1/12) m L²
• 同じ棒を端点を軸に回す（剛体回転の平行軸の定理適用）： I = (1/3) m L²
• 一様な円筒（軸方向回転、半径 R、質量 m）： I = (1/2) m R²
• 薄い円環・薄い円筒（質量が半径付近に集中）： I = m R²
• 一様な球（中心回転、半径 R、質量 m）： I = (2/5) m R²
• 薄い球殻（中心回転）： I = (2/3) m R²
• 長方形板（辺 a, b、中心を貫く垂直軸）： I = (1/12) m (a² + b²)

並進との類似と回転エネルギー

慣性モーメントは回転運動における「質量」の役割を果たします。運動エネルギーは次の式で与えられます：

回転エネルギー = (1/2) I ω²

ここで ω は角速度です。これにより、同じ角速度でも慣性モーメントが大きいほどエネルギーが大きくなります。

平行軸の定理（シュタインヘルの定理）

慣性モーメントは軸の位置に依存します。ある物体の重心を通る軸に対する慣性モーメント I_CM が分かっているとき、重心から距離 d 離れた平行な軸に対する慣性モーメント I は：

I = I_CM + m d²

（m は物体全体の質量）

計算例

• 離散点の例：質量 2 kg の点が軸から 0.5 m、質量 3 kg の点が軸から 1.0 m の位置にある場合、
  I = 2×0.5² + 3×1.0² = 2×0.25 + 3×1 = 0.5 + 3 = 3.5 kg·m²
• 連続体の例：質量 5 kg、半径 0.2 m の一様な円筒（中心軸まわり）では
  I = (1/2) m R² = 0.5 × 5 × 0.2² = 0.5 × 5 × 0.04 = 0.1 kg·m²

実務上の注意点

• 距離 r は必ず回転軸に対する「垂直距離」を使うこと（軸方向の成分は寄与しない）。
• 質量分布が非一様な場合は密度分布 ρ(r) を用いて積分する必要がある。dm の表現を正しく選ぶこと。
• 形状や軸の取り方により値が大きく変わるため、軸位置の明示が重要。

慣性モーメントは回転機械設計、振動解析、ロボットアームの制御など多くの分野で重要な量です。適切な式や定理を用いて計算・概算を行うことで、力学系の挙動を正確に予測できます。

質問と回答

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