投影の定義と種類数学・心理学・地図投影・映像の概要

投影はいずれでもよい。

投影の一般的な定義

「投影（projection）」とは、ある対象（点・図形・情報・心理的内容など）を別の空間や表現に写し取る操作や過程を指します。基本的には元の対象から特徴や座標を取り出して別の形式に変換することで、用途に応じて重要な性質を保持したり、見やすくしたりします。

数学では「投影」は複数の意味を持ちますが、代表的なのは線形代数と幾何での使い方です。

線形代数の投影演算子：線形写像Pが冪等（P^2 = P）を満たすとき、Pはある空間を部分空間に投影する演算子と呼ばれます。例えばベクトルを部分空間に直交投影する場合、誤差（残差）が最小になります。行列で表すと、列空間へ直交投影する行列はしばしば P = A(A^T A)^{-1}A^T の形になります（Aの列が部分空間を生成する場合）。
幾何学的投影：点を直線や平面に映す操作（点から最短距離で垂線を下ろすなど）や、視点から平面に投影して透視図（遠近法）を得る操作などがあります。
射影幾何（Projective geometry）：平行線が一点で交わるなど、視点を含む"無限遠点"を考えることで透視図やカメラのモデルを数学的に扱います。射影変換（ホモグラフィー）は平面上の直線を直線に写します。

心理学では「投影」は主に防衛機制の一つを指します。個人が自分の持つ受け入れがたい感情、欲求、欠点などを他人のものとみなすことです。例えば、自分が攻撃的な感情をもっていることを認めたくないために、他人が攻撃的であると考える、といった現象です。

地球のような曲面（球面や楕円体）を平面地図に表すときの写し方を「地図投影」と呼びます。球面を平面に写す際、どれかの性質（面積・角度・距離・方位）を完全に保存することは原理的に不可能であり、目的に応じてさまざまな投影法が使い分けられます。

地図を選ぶ際は、何を正確に示したいのか（面積、形、距離、方向）を基準に投影法を選びます。どの投影でも何らかの歪みが生じるため、図の注記や縮尺の解説が重要です。

光学やCGの分野では、3次元空間の情報を2次元のスクリーンや画像に変換する操作を「投影」と呼びます。主に次の2種類が基本です。

透視投影（視点投影）：人間の目やカメラの見え方に近い投影で、遠くの物体が小さく見えます。CGでは視錐台（視野角・near/far平面）や投影行列を用いて計算します。
平行投影（直交投影、オーソグラフィック）：遠近効果を無視して平行な投影線で写すため、図面やCADで物体の寸法を正確に示すのに適します。

また、プロジェクションマッピングのように映像を物体の形に合わせて投影する技術や、ホモグラフィーを使った画像変換、レンズで像をスクリーンに投影する光学的な投影も重要な応用分野です。

投影は統計や機械学習でも重要な役割を果たします。たとえば主成分分析（PCA）は高次元データを低次元部分空間に投影して重要な変動方向を抽出します。回帰分析においても観測データを説明変数の空間に投影する観点が利用されます。信号処理ではフィルタや直交投影を用いてノイズ除去や特徴抽出を行います。

目的を明確にする：何を保存したいか（形状・面積・距離・角度・心理的意味など）によって投影法やモデルを選びます。
歪みやバイアスを理解する：どの投影にも長所・短所があります。地図投影なら面積の歪み、心理学的投影なら認知バイアスによる誤解、CGの投影ならクリッピングや解像度の制約などを認識しましょう。
用途に応じた検証を行う：可視化や解析結果が投影により影響を受けていないか、実データや観測と照合して確認することが重要です。

「投影」は幅広い分野で使われる概念で、共通するのは「あるものを別の表現に写し取る」という点です。数学的な写像、心理学的な心の働き、地図や映像の表現、データ解析の次元削減など、それぞれ目的と保存したい性質に応じて適切な方法を選ぶことが大切です。