関係：数学・論理学・データベース・社会科学における意味

数学および論理学における関係

形式的には、集合 A1、A2、…、An 上の n 項関係とは、直積 A1 × A2 × … × An の任意の部分集合である。最も一般的なのは二項関係であり、A × B から選ばれる順序対の集合である（しばしば A = B）。基本用語には、項数（成分の数）、定義域および値域（第1座標と第2座標の集合）があり、順序関係、同値関係、述語のグラフなどが例に含まれる。

• 反射的 — すべての要素が自分自身と関係をもつ。
• 対称的 — aRb ならば bRa である。
• 推移的 — aRb かつ bRc ならば aRc である。
• 反対称的 — aRb かつ bRa ならば a = b である。

特別な種類として、同値関係（反射的・対称的・推移的）と半順序（反射的・反対称的・推移的）がある。関係は関数とは異なる。関数とは、各入力に対して高々1つの出力しかもたない関係である。

演算と表現

関係に対する代表的な演算には、逆関係、合成、和、積、および推移閉包などの閉包を取る操作がある。二項関係は、有向グラフや隣接行列として表現されることが多く、これにより可視化や、到達可能性・連結性といったアルゴリズム的分析が可能になる。

データベースにおける関係

関係データベースモデルでは、関係は表に対応する。タプルは行、属性は列である。このモデルでは宣言的な指定、キー、整合性制約が重視される。問合せは選択、射影、結合、和、差、積によって関係を操作し、関係代数と関係計算がこれらの操作を形式化する。関係モデルは、データモデリングと問合せ言語の基礎であり続けている。

社会的・言語学的・応用上の意味

形式分野以外では、関係は対人関係（親族関係、友情、職業上のつながり）、制度間のつながり（貿易関係、外交関係）、および社会ネットワーク分析で研究されるパターン化された結び付きを指す。言語学と意味論では、関係は語と概念の結び付き（同義、反義、上位・下位関係）、ならびに論理形式における述語間の結び付きを記述する。

歴史と用法

抽象的な集合論的関係の概念は、近代論理学と集合論の発展とともに形成された。データのための関係モデルは20世紀後半に広く知られるようになった。この語を用いる際には、表現、推論、検証の方法が異なるため、非形式的・経験的な関係と形式的な数学的関係を区別するとよい。