驚異の定理
ガウスのTheorema Egregium（ラテン語で「注目すべき定理」の意）は、カール・フリードリヒ・ガウスが証明した微分幾何学の主要な結果である。この定理は、曲面の曲率に関するものです。この定理では、曲率は表面上の角度、距離、その割合を測定するだけで決定できるとしている。曲面が周囲の3次元ユークリッド空間にどのように埋め込まれているかについては、特に語る必要はない。つまり、曲面を伸ばさずに曲げても、ガウス曲率は変わらないのである。
ガウスは、この定理をこのように提示した（ラテン語からの翻訳）。
このような理由から、前の記事の公式は、それ自体で驚くべき定理を導く。ある曲面を他のどんな曲面の上に展開しても、各点における曲率の測定値は変わらない。
この定理が「注目に値する」のは、ガウス曲率の出発点となる定義が、空間における曲面の位置を直接利用しているからである。そのため、曲げやねじりの変形を受けたにもかかわらず、その結果が埋め込みに依存しないことは非常に驚くべきことです。
Theorema Egregiumの結果として、地球は歪まずに地図上に表示することができません。ここで紹介するメルカトル図法は、角度はそのままに面積を変えたものです。例えば、南極大陸は実際よりもずっと大きく表示されます。
質問と回答
Q: ガウスの『エグレギウム神学』とは何ですか?
A: ガウスの永遠性の定理は、カール・フリードリッヒ・ガウスによって証明された、曲面の曲率に関する微分幾何学の主要な結果です。
Q: どのようにして曲率が決まるのですか?
A: ガウスの永遠定理によれば、曲率は曲面上の角度、距離、およびそれらの割合を測定することによってのみ決定することができます。
Q: 曲率を決定するために、曲面が周囲の3次元ユークリッド空間にどのように埋め込まれるかについて話す必要がありますか?
A: いいえ、ガウスの永遠定理に従って曲率を決定するために、曲面が周囲の3次元ユークリッド空間に埋め込まれる特定の方法について話す必要はありません。
Q: 曲面を伸ばさないで曲げると、曲面のガウス曲率は変わるのですか?
A: いいえ、ガウスの永遠定理によれば、曲面を伸ばさないで曲げても曲面のガウス曲率は変わりません。
Q: 誰がこのような定理を示したのですか?
A: ガウスがこのような定理を示しました。
Q: この定理は何に注目すべきですか?
A: この定理が「注目に値する」のは、ガウスの曲率の定義が、空間における曲面の位置を直接利用しているからです。ですから、あらゆる曲げ変形やねじれ変形を受けたにもかかわらず、その結果が埋め込みに依存しないことは非常に驚くべきことなのです。
Q: ガウスはどのような方法で定理を提示したのですか?
A: ガウスは、曲面が他の曲面上に展開される場合、各点の曲率の尺度が変化しないような方法で定理を提示しました。
