位相空間
トポロジー空間とは、トポロジー（図形の構造の数学）で研究されている空間のことである。大まかには、どのものがどのように近いかを知る方法とともに、ものの集合（点と呼ばれる）のことである。
より正確には、トポロジカル空間には、開放集合と呼ばれるある種の集合がある。開放集合は、点の近傍と呼ばれる別の点の近くにある点について話すことができるので、重要です。点の近傍とは、単にその点を含む開放集合のことである。開放集合の概念を持っていなければ、良い方法で近隣を定義することはできません。ある点の近傍をその点を含む集合として定義しようとすると、その点とその点だけが含まれ、その点の近くの点や遠くの点は含まれないことになります。また、開集合の補集合である閉集合という概念もあります。つまり、ある開放集合に属さない点のすべてが閉集合を形成しているのです。
開放集合は，我々の近さの概念と一致するように，ある規則に従わなければならない．任意の数の開集合の和は開集合でなければならず，有限数の閉集合の和は閉集合でなければならない．(2番目の規則は有限の数の閉じた集合に対してのみ有効である．それは，多くの場合，1つの点を含む集合は閉じているからである．どんな集合も点でできています．もし第2の規則が無限の数の閉じた集合に適用されるならば，すべての集合は閉じていることになります)．特殊なケースとして，すべての点を含む集合は，開いていても閉じていてもよい．点を含まない集合もまた，開いていて閉じている．
点の集合は、開集合とは何かについて、さまざまな定義を持つことができます。特定の集合だけをオープンと考えることもできますし、それ以上の集合をオープンと考えることもできます。すべての集合を開いていると考えることもできるかもしれない．開放集合の定義が異なる同じ集合でも，異なるトポロジカル空間を形成する．
質問と回答
Q: トポロジカル空間とは何ですか?
A: トポロジカル空間とは、どのようなものが近くにあるかを知るための方法とともに、点の集合のことです。形状の構造に関する数学で研究されています。
Q: 開放集合とは何ですか?
A: 開放集合は、別の点の近くにある点（点の近傍と呼ばれる）について話すことを可能にするため、重要です。ある種の集合として定義され、それを使って近傍をうまく定義することができる。
Q: 開放集合は何に従わなければならないのか?
A: 開放集合は、近さに関する我々の考えと一致するように、ある規則に従わなければなりません。任意の数の開集合の和は開でなければならず、有限個の閉集合の和は閉でなければならない。
Q: 開いている集合と閉じている集合の特別な場合とは?
A:開集合と閉集合の特別な場合とは、すべての点を含む集合が開かつ閉であることと、点を含まない集合が開かつ閉であることである。
Q: 定義の違いは位相幾何学的空間にどのような影響を与えるのか?
A: 開集合の定義が異なると、特定の集合のみを開集合と見なしたり、通常よりも多くの集合を開集合と見なしたり、あるいはすべての集合を開集合と見なしたりして、トポロジー空間に影響を与えることがあります。
Q: 無限個の閉集合は任意の集合を形成できるのか?
A:いいえ、もし無限個の閉集合が許されるのであれば、どの集合も点からしか構成されないので、閉集合とみなされるでしょう。
