位相空間（トポロジー）とは：定義・開集合・閉集合・近傍の基礎

位相空間（トポロジー）の基本を図解でわかりやすく解説。定義、開集合・閉集合・近傍の性質と例で初学者にも理解できる入門ガイド。

トポロジー（位相）は、図形や集合の「近さ」や「連続性」などの性質を抽象化して扱う数学の分野です。位相空間とは、ある集合に対してどの部分集合を「開」とみなすかを指定した構造のことで、点の集合（集合）に対して近さや連続性を議論できるようにします。

定義（位相空間）

集合 X に対して、その部分集合族 T が次を満たすとき、(X, T) を位相空間と呼び、T を位相（トポロジー）と呼びます。

• 空集合と全体集合が位相に含まれる： Ø ∈ T および X ∈ T。
• 任意個の和（合併）は開集合である： 任意の族 {U_i} ⊂ T に対して ⋃_i U_i ∈ T。
• 有限個の共通部分（交わり）は開集合である： U_1,...,U_n ∈ T ならば ⋂_{k=1}^n U_k ∈ T。

このとき T の元を 開集合 と呼びます。開集合の補集合は 閉集合 です（すなわち C ⊂ X が閉であるとは X\C が開であること）。

開集合と閉集合の性質

• 閉集合の基本性質： Ø と X は閉集合である。任意個の閉集合の交わりは閉集合であり、有限個の閉集合の和（合併）は閉集合である。ここで2番目の規則が有限に限られる理由を理解することは重要で、もし無限の合併にも当てはめるとすべての集合が閉になってしまう（望ましくない）からです（参考：無限の数の閉じた集合に関する注意）。
• 両立例： X と Ø は同時に開でも閉でもあり得ます（位相によっては「両方」である集合が存在します）。

近傍（ネイバーフッド）と基底（Basis）

近傍の定義には二通りの表現があります。最も簡単なものは「ある点 x の近傍とは、x を含む開集合のこと」であり、一般的には「近傍 U が x の近傍であるとは、x を含む開集合 V が存在して V ⊂ U であること」と定義する場合もあります（この定義の方が幅広く用いられます）。

位相を具体的に与える便利な方法として 基底（basis） の概念があります。基底 B は X の部分集合族で、

• 任意の x ∈ X に対してある B ∈ B が存在し x ∈ B（基底が全体を覆う）
• 任意の B1, B2 ∈ B と x ∈ B1 ∩ B2 に対して、ある B3 ∈ B が存在し x ∈ B3 ⊂ B1 ∩ B2

これらを満たすとき、B によって生成される位相は B の任意の和（合併）として定義されます。さらに単純化した生成法として 亜基（subbasis） もあります。

代表的な例

• 離散位相（discrete topology）： 全ての部分集合を開集合とする位相。すべての集合が同時に閉でもある。
• 極限位相（trivial / indiscrete topology）： 開集合は Ø と X のみ。非常に粗い（粗密が低い）位相。
• ユークリッド位相（R の場合）： 実数直線 R 上の標準位相は開区間 (a,b) を基底とする。距離（metric）から生じる位相の典型例で、任意の点に対して半径 r の開球（開区間）が近傍を与える。
• 距離空間からの位相： 任意の距離空間 (X, d) は、開球を基底として自然な位相を持つ（このような位相を距離誘導位相という）。

重要な概念（内部・閉包・境界・極限点）

• 内部（interior）： A の内部 int(A) は A に含まれる最大の開集合（A に含まれる開集合の和）。
• 閉包（closure）： A の閉包 cl(A) は A を含む最小の閉集合（A を含む閉集合の交わり）。
• 境界（boundary）： ∂A = cl(A) \ int(A)。
• 極限点（limit point / accumulation point）： 任意の近傍に A の他の点を含む点。極限点の集合は閉集合であり、閉包は A と A の極限点の和として説明できる。

連続性・同相（ホモイオ）

写像 f : X → Y が連続であるとは、Y の任意の開集合 V に対して f^{-1}(V) が X の開集合であることです。位相的な同値（同相 homeomorphism）は、連続で逆写像も連続な全単射で、位相的性質（近さ・連続に関する性質）を保ちます。位相空間の分類では同相が基本的な等価関係となります。

その他の重要な性質（概略）

• 分離公理（T0, T1, Hausdorff (T2) など）： 点を近傍で分離できるかどうかに関する条件。特に Hausdorff（T2）は任意の互いに異なる点を互いに交わらない近傍で分けられる性質で、解析で扱う空間にとって重要。
• コンパクト性： 任意の開被覆から有限部分被覆をとれる性質。多くの解析的結果（最大値定理や連続写像の像がコンパクトであることなど）に使われる。
• 連結性： 空間が二つの非自明な開集合に分割できない性質（分離できないこと）。

まとめと補足

位相空間の基本アイデアは、集合の上に「どの部分集合を開と見なすか」というルールを与えることで、点どうしの近さや連続性、収束といった概念を抽象化して扱うことにあります。同じ基礎集合でも異なる位相を入れることでまったく異なる位相空間が得られ、抽象的ながら幾何学的・解析的・組合せ的な多様な応用が存在します。

質問と回答

Q: トポロジカル空間とは何ですか?

Q: 開放集合とは何ですか?

Q: 開放集合は何に従わなければならないのか?

Q: 開いている集合と閉じている集合の特別な場合とは?

Q: 定義の違いは位相幾何学的空間にどのような影響を与えるのか?

Q: 無限個の閉集合は任意の集合を形成できるのか?

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