集合（数学）の定義：要素・空集合・演算・ラッセルのパラドックス

ほとんどの数学者は、集合について書くときに大文字のイタリック体（通常はローマ字）を使用します。集合の要素とみなされるものは、通常、小文字のローマ字で書かれます。

集合を表す方法のひとつに、カンマで区切って中括弧で囲んだメンバーのリストがあります。例えば

• X={1,2,3}は、メンバー1,2,3を持つ集合である。

もう一つの方法は、集合のメンバーについて何が真実であるかを示す声明で、次のようなものです。

• {x｜xは自然数＆x＜4}。

口語では、それは"xが自然数でxが4未満であるようなすべてのxの集合 "である。

空集合は特殊な書き方をしています。

• ∅ {displaystyle \emptyset }.

オブジェクトaが集合Aのメンバーである場合は、次のように記述されます。

• a（A）。

口語では、つまり"a is a member of A"

の要素

袋の中にいろいろなものを入れることができる。後で、あるものが袋の中に入っているかどうかが、有効な質問となる。数学者はこれを「要素(element of)」と呼ぶ。あるものが袋の中に入っていれば、そのものは集合の要素である。この記号を∈ {displaystyle \in }という。

a∈A {displaystyle a\ in \mathbf {A} }.}

は{displaystyle a} が袋 A {displaystyle \mathbf {A} に入っていることを意味する。}

空集合

バッグと同じように、セットも空になることがあります。空のセットは、空のバッグのようなもので、中には何も入っていません。

セットの比較

2つのセットを比較することができます。これは、2つの異なるバッグを見るようなものです。同じものが入っていれば、それは同じです。

集合の基数

数学者が集合について話すとき、集合の大きさを知りたいと思うことがあります。これは，集合の中にいくつの要素があるか（バッグの中にいくつのアイテムがあるか）を数えることによって行われます．カージナリティは単純な数であることもある．空集合のカージナルは0である。{displaystyle \{apple,orange}} のカージナルは2である。

2つの集合は、その要素を対にすることができれば、つまり、それぞれの集合から1つずつ2つの要素を結合することができれば、同じ基数である。集合 { a p p l e , o r a n g e } は、次のようになる。{displaystyle \{apple,orange}} and the set { s u n , m o o n } } of the set { s u n , m o n }.{displaystyle \{sun,moon}} は同じカージナル数である。appleとsun、orangeとmoonを対にすることができる。順番は関係ない。組合せが可能であり、抜けはない。しかし、集合{ d o g , c a t , b i r d }は、{ d o g , c a t , b i r d }と同じである。{displaystyle \{dog,cat,bird}} and the set { 5 , 6 } {displaystyle \{dog,cat,bird} }} .{displaystyle \{5,6}} 、異なる基数を持っている。この2つを組み合わせると、必ず1匹が外れる。

無限のカージナリティ

カーディナリティが数字でないこともある。集合は無限のカージナルを持つことがある。整数の集合は無限のカージナルを持つ集合である。無限の基数を持つ集合の中には、他の集合より大きい（基数が大きい）ものがある。たとえば、実数は自然数より多い。つまり，永遠に働いても，整数の集合と実数の集合を対にすることはできないのです．もしある集合が整数の集合と同じ基数を持つなら，それは可算集合と呼ばれる．しかし，もし集合が実数と同じ基数を持つなら，それは数えられない集合と呼ばれる．

サブセット

集合{a,b}と集合{a,b,c,d}を見ると、最初の集合の要素はすべて2番目の集合にも入っていることがわかるでしょう。
私たちはこう言います。{a,b} は {a,b,c,d} の部分集合である。
式にすると、次のようになります。
{ a , b } の部分集合⊆ { a , b , c , d } となります。{displaystyle \{a,b}subseteq \{a,b,c,d}}} となります。

Aのすべての要素がBの要素でもあるとき、AをBの部分集合と呼ぶ。
A ⊆ B {displaystyle A}
 通常は "A is contained in B "と読みます。

例
すべてのシボレーはアメリカ車である。だから、すべてのシボレーの集合は、すべてのアメリカ車の集合に含まれる。

セットオペレーション

セットの組み合わせ方はさまざまです。

交差点

The intersection A∩B {displaystyle Acap B} of two sets A and B is a set
that are both in set A and in set B, all the elements that contains the all of the elements, in set B.
Aがすべての安い車の集合で、Bがすべてのアメリカ車の集合のとき
、A ∩ B {displaystyle Acap B} はすべての安いアメリカ車の集合である。

ユニオン

The union A∪B {displaystyle Acup B} of two sets A and B is set
that are in set A or in set B, all elements, contain the set that is
in set A or in set B.

この「または」は包含的論理和であり、集合Aと集合Bに含まれる要素も和集合に含まれる。

ちなみにこれは、交差点が和集合の部分集合であることを意味します。

( A∩B ) ⊆ ( A∪B ) {displaystyle (Acap B)\subseteq (Acup B)}.

Aをすべての安い車の集合、Bをすべてのアメリカ車の集合とすると
、A∪B {displaystyle Acup B} はすべての車の集合から、アメリカ以外の高い車を除いたものである。

コンプリート

Complementには2種類の意味があります。

• Aの補集合は、Aのすべての要素を除いた宇宙Uである。

A C = U ∖ A {displaystyle A^{rm {C}}=U}{setminus A}
 宇宙Uは、あなたが話すすべてのものの集合である。
Uをすべての車の集合、Aをすべての安い車の集合とすると
、A^C 、すべての高い車の集合である。

• BにおけるAの相対補語は、Aの要素をすべて除いた集合Bである。

B ∖ A {displaystyle Bsetminus A} とする。  集合差分と
呼ばれることが多い。
Aをすべての安い車の集合、Bをすべてのアメリカ車の集合とすると
、B ∖ A {displaystyle Bsetminus A} はすべての高いアメリカ車の集合となる。

車の例では、差分 A ∖ B {displaystyle Asetminus B} は、アメリカ製でない安い車の集合である。

数学にとって非常に重要な集合があります。非常によく使われます。その1つが空集合です。これらの集合の多くは、以下のように黒板太字の書体で書かれています。特殊な集合は以下の通りです。

• P {displaystyle \mathbb {P} }.}はすべての素数の集合を表します。
• N {displaystyle \mathbb {N} }.}はすべての自然数の集合である。つまり、N {displaystyle \mathbb {N} } は、すべての自然数の集合である。}N {displaystyle \mathbb {N} } = {1, 2, 3, ...} または、N {displaystyle \mathbb {N} } の場合もあります。}= {0, 1, 2, 3, ...}.
• Z {displaystyle \mathbb {Z} }.}はすべての整数(正、負、ゼロを問わない)の集合を表します。だから、Z {displaystyle \mathbb {Z} } は、すべての整数の集合を表す。}= {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
• Q {displaystyle \mathbb {Q} }.}はすべての有理数の集合(すなわち、すべての正・負分 の集合)です。つまり、Q = { a b : a , b∈Z , b ≠ 0 }となります。{displaystyle \mathbb {Q} =left}{{begin{matrix}{prac {a}{b}}}}end{matrix}}:a,b}in \mathbb {Z} ,bneq 0}{b}{prac {a}{b}{prac}{prac}}{prac}{prac}{prac}{prac}{prac}{prac}}} 0,bneq 0right}} である。ここで、a と b は整数の集合に含まれ、b は 0 に等しくない。例えば、1 4∈Q {displaystyle {Threshold{matrix}{frac {1}{4}} end{matrix}} in \mathbb {Q}} は、1 4 ∈Q {displaystyle {Threshold{matrix}{FRAC {1}{4}}は、"0 "を意味し、"1 "を意味しない。} and 11 6∈Q {displaystyle {}begin{matrix}{cfrac {11}{6}}}end{matrix}}in \mathbb {Q}} {displaystyle {}begin{matrix}{cfrac {11}{6}}}は "end{matrix}"である。}.すべての整数aは分数a 1 {displaystyle {}begin{matrix}{cfrac {a}{1}}}end{matrix}} として表現できるので、すべての整数がこの集合に含まれる。
• R {displaystyle \mathbb {R} } は、すべての実数の集合を表します。はすべての実数の集合を表します。この集合にはすべての有理数とすべての無理数（π , {displaystyle \pi ,} e , {displaystyle e,} , √2など分数として書き直すことができない数）が含まれます。
• C {displaystyle \mathbb {C} }.}はすべての複素数の集合を表します。

これらの数の集合はそれぞれ無限個の要素を持ち、P⊂N⊂Z⊂Q⊂R⊂C {displaystyle \mathbb {P} } </p\⑭Subset ͟Mathbb {N｝\⑭Subset ⑯Mathbb {Z｝\⑭Subset ⑯Subset ⑭Q\╱︎╱︎╱︎╱︎╱︎╱︎╱︎╱︎╱︎╱︎╱︎쇼}.素数は、整数論やその関連分野以外では他の素数より使用頻度が低い。

数学者のバートランド・ラッセルは、この集合の理論に問題があることを発見した。彼はこれを「ラッセルのパラドックス」と呼ばれるパラドックスで表明した。より実生活に近いわかりやすいものは、バーバー・パラドックスと呼ばれる。

理容師のパラドックス

あるところに小さな町があります。その町には床屋さんがあります。町の男たちはみんなヒゲが嫌いなので、自分で剃るか、床屋に行って床屋さんに剃ってもらうか、どちらかです。

したがって、理髪師自身について述べることができる。床屋は、自分でひげを剃らないすべての男のひげを剃る。床屋は、自分でひげを剃らないすべての男のひげを剃る。

ここでもちろん疑問が生じる。床屋は毎朝何をやって髭を剃っているのだろう？これはパラドックスである。

• 理容師が自分の髭を剃らない場合は、ルールに従って自分の髭を剃る（理容室に行って髭を剃ってもらう）。
• もし理髪師が本当に自分の髭を剃るのであれば、上にあげた規則に従って、自分の髭を剃ることはない。