ねじり（トーション）とは — トルク・せん断応力・角ひずみの公式

ねじり（トーション）の基礎と公式を図解で解説。トルク・せん断応力・角ひずみの計算式と実践例で設計・解析がすぐ分かる入門ガイド。

固体力学におけるねじり（トーション）とは、印加されたトルクの結果として生じる物体のねじれ（軸周りの回転）のことです。円形断面の棒では、結果として生じるせん断応力は半径方向に比例して大きくなり、その向きは周方向（接線方向）で、面は軸に垂直になります。

軸上の一点でのせん断応力（周方向–軸方向成分）は次式で与えられます：

せん断応力 τθz = Tr / J

• T：印加トルク（トルクの大きさ、単位 N·m）
• r：回転中心（軸中心）からの距離（断面内の任意の点の半径、単位 m）
• J：極慣性モーメント（断面積分で定義される定数、単位 m4）。定義式は J = ∫ r2 dA です。

この式から、せん断応力は断面中心からの距離 r に比例して増加し、外表面（r = R）で最大になります：

• 最大せん断応力 τmax = T R / J

ねじれ角（ねじり変形）とその導出

円形断面の一様な軸（長さ L）において、軸端での総ねじれ角 θ（ラジアン）は次の式で与えられます：

ねじれ角 θ = T L / (J G)

• G：せん断弾性係数（せん断弾性率、単位 Pa）
• L：ねじられる軸の長さ（単位 m）

導出の概略：

• 軸の単位長さあたりのねじれ角（角ひずみの勾配）を φ' とすると、弾性理論より φ' = T / (G J) です。
• その点 r におけるせん断ひずみは γθz = r · φ' = r T / (G J) となります。
• フックの法則（せん断応力 τ = G γ）を用いると τθz = G · γθz = Tr / J となり、上の式が得られます。

極慣性モーメント J の具体式（円形断面の場合）

• 実心円断面（半径 R または直径 d = 2R）の場合： J = (π/2) R4 = π d4 / 32
• 中空円筒（外半径 Ro、内半径 Ri、直径表記でも同様）： J = (π/2) (Ro4 − Ri4) = π (do4 − di4) / 32

前提条件と注意点

• 上の式は線形弾性（フックの法則）、小変形、かつ円形断面での一様なねじり（Saint‑Venant のねじりの解）を仮定しています。
• 非円形断面（長方形、角断面など）や断面が開いている場合は、断面の「ねじり剛性」は J の代わりに等価なねじり定数を使う必要があり、断面のねじれに伴って「ワーピング（ねじれ面のずれ）」が生じます。これらはより複雑な解析（薄肉断面理論や有限要素法）を要します。
• 単位系に注意してください：T [N·m], J [m4], G [Pa = N/m2] なら θ は無次元（rad）で得られ、τ は Pa（N/m2）となります。

「どこだ？」という問いに対して：上に示した式中の各記号（T, r, J, L, G）がそれぞれ何を表すかは上の定義にまとめてあります。必要なら数値例や具体的な計算手順も示しますので、断面形状・材料特性・寸法（T, L, R など）を教えてください。

質問と回答

Q: トーションとは何ですか?

Q:剪断応力とねじれの関係は?

Q: シャフト上のある点でのせん断応力を計算するには、どのような方程式を使用すればよいですか?

Q: ねじれ角の求め方はどのような式になりますか?

Q:せん断応力とねじれ角の式で、"T "は何を表しているのですか?

Q:せん断応力の式で、"r "は何を表していますか?

Q: 両方の式において、"J "は何を表しているのか?

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