極の第2面積モーメント（極二次モーメント）とは｜定義・計算式・応用例

極の第2面積モーメント（極二次モーメント）の定義・計算式と実務で使える応用例を図解・公式付きでわかりやすく解説—ねじり抵抗やシャフト設計に必須の知識。

注：異なる分野では、異なるモーメントを指すために慣性モーメントという用語を使用しています。物理学では、慣性モーメントは厳密には軸からの距離に対する質量の第2のモーメントであり、印加されたトルクによる物体の角加速度を特徴付けます。工学（特に機械や土木）では、慣性モーメントは一般的に面積の第二のモーメントを指します。慣性モーメントを読む際には、慣性モーメントではなく、「面積の極性第二モーメント」を参照していることを確認するように注意してください。極の第二面積モーメントは、長さの単位が４乗になる（例：m 4 {\displaystyle m^{4}} or i n 4 {\displaystyle in^{4}}）が、慣性モーメントは質量×長さの２乗である（例：k g ∗ m 2 {displaystyle kg*m^{2} or l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}}）。).

ここでは「極の第2面積モーメント（極二次モーメント）」について、定義・計算式・実務上の注意点を整理します。まず用語の混同に注意してください。上に示したように、物理で使う質量に関する慣性モーメント（質量×長さ^2）と、工学で扱う面積に関する慣性モーメント（面積×長さ^2＝長さ^4）は区別されます。

定義と物理的意味

極域第二モーメント（別名「極慣性モーメント」）は、断面形状がねじりに対してどれだけ抵抗するかを示す幾何学的量です。断面上の微小面積要素 dA が軸 O から距離 ρ にあるとき、極二次モーメント J_O はその面積要素の ρ^2 に比例した値の面積積分として定義されます。数学的には次のようになります（定義のイメージ）：

J O = ∬ R ρ 2 d A {displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA}.

ここで ρ は軸 O からの距離で、直交座標 (x,y) を用いると ρ^2 = x^2 + y^2 となります。従って極二次モーメントは平面的な二次面積モーメントの和として表されます（垂直軸定理・perpendicular axis theorem）。

平面的な第2の面積のモーメントは、一般に I と表され、極的な第2の面積のモーメントは I_z や工学書でよく用いられる文字 J で表されます。

単位

極二次モーメントは面積×長さ^2 の次元を持つため、長さの四乗（L^4）の単位になります。SI 単位では m^4、帝国単位では in^4 などが使われます（文中にある各種表記とタグは元の式の表記を保持しています）。

式と導出（積分表現）

直交座標 (x,y) を用いると、平面二次モーメントは次のように定義されます。

• I x = ∬ R x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy}.
• I y = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy}.

これらから極二次モーメントは

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy}

従って、垂直軸定理により

∴ J=I_{x}+I_{y} {\displaystyle \therefore J=I_{x}+I_{y}}.

代表的な断面の式（円形断面が代表例）

ねじり抵抗を直接表す実用的な式は断面形状によって異なります。特に軸対称な円断面では極二次モーメントとねじり剛性が直接結びつき、簡単な閉形式があります。

• 実心円棒（半径 a, 直径 d=2a）の極二次モーメント（断面積に関する）は
  J = π d^4 / 32 = π a^4 / 2（しばしば機械設計で用いられる式）
• 中空円管（外径 d_o、内径 d_i）の場合は
  J = π (d_o^4 − d_i^4) / 32

（注：上の式は円断面の極二次モーメントの代表式です。丸棒や中空軸についてはこれらの式をそのままねじり計算に用いることができます。）

ねじり角（角ひずみ）と剛性

材料のせん断弾性率 G（せん断モジュラス）と幾何学量 J を組み合わせることで、軸に加わったトルク T に対する角ひねり θ（角度の変位）を求められます。単純支持の円軸（一定断面、長さ l）の場合、Saint‑Venant の近似に基づいて

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac{Tl}{JG}}}.

ここで、T は外力のモーメント（トルク）、l は軸の長さ、G は材料のせん断弾性率です。軸のねじり剛性（トルク/角度）は GJ/l となります。

非円断面とねじり定数（実務上の注意）

円断面以外の断面（角形や薄肉閉断面など）に対しては、極二次モーメント J と「ねじり定数（torsional constant、しばしば J_t と表記）」は一致しないことが多いです。非円断面ではねじり時に断面の面内変形（ワーピング）が生じ、Saint‑Venant の単純模型が成り立たない場合があります。そのため実務では以下の点に注意します。

• 非円断面のねじりには「ねじり定数（torsional constant）」（補正定数）を使う。極二次モーメントと同じ記号 J を使うこともありますが、断面形状によっては別途求める必要があります。
• 細長な角形断面や矩形断面では厳密解が複雑であり、経験式や表、有限要素法（FEM）での解析を用いて J_t を求めます。
• 薄肉閉断面（薄肉箱形など）は剛性が高く、極二次モーメントではなく薄肉理論に基づく公式を用いることが一般的です。

したがって、断面が円でない場合は「極二次モーメントの計算 → そのままねじり剛性に適用」が常に正しいとは限らず、補正（または別定義のねじり定数）を用いる必要があります。

用途と実例

極二次モーメントは次のような場面で重要になります。

• 車両のアクスルやドライブシャフトなど、回転する円筒軸のねじりたわみ評価。
• 機械部品や梁の断面設計におけるねじり耐性の評価。
• 材料設計や剛性計算で、材料のせん断特性（G）と組み合わせた剛性評価。

実用的には、丸軸の設計では上記の円断面式を用いて J を計算し、角ひずみや許容トルクを求めます。極二次モーメントが大きいほど、同じトルクでの角ねじり（θ）は小さくなりますが、これはあくまで断面の幾何学的効果であり、材料のせん断剛性 G が大きいほど角ひずりはさらに小さくなります。

まとめと注意点

• 「慣性モーメント」という用語は分野により意味が異なる。工学では多くの場合「面積の第2モーメント（長さ^4）」を指す点に注意する。
• 極二次モーメント J は断面のねじりに対する幾何学的抵抗量で、垂直軸定理により J = I_x + I_y が成り立つ（平面薄板の場合）。
• 円断面では簡単な閉形式（実心: π d^4 /32、中空: π(d_o^4 − d_i^4)/32）を用いる。非円断面では補正されたねじり定数を用いる必要がある。
• 角ねじりは θ = T l / (G J) で与えられ、ねじり剛性は G J / l で表される（Saint‑Venant の理論が適用できる場合）。

参考：断面形状に応じた具体的な公式や補正係数は教科書や規格、あるいは有限要素解析を用いて取得してください。特に複雑形状や薄肉ワーピングを伴う断面では簡易公式が使えない場合があります。なお、本文中にある各種参照リンクと数式表記（ねじりに、トルクによるなど）は元の表記を保持しています。

質問と回答

Q:物理学でいう慣性モーメントとは何ですか?

Q: 工学でいう極座標2次モーメントとは何を指すのでしょうか?

Q:面積の極座標2次モーメントの計算方法は?

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