極慣性モーメント

注：異なる分野では、異なるモーメントを指すために慣性モーメントという用語を使用しています。物理学では、慣性モーメントは厳密には軸からの距離に対する質量の第2のモーメントであり、印加されたトルクによる物体の角加速度を特徴付けます。工学（特に機械や土木）では、慣性モーメントは一般的に面積の第二のモーメントを指します。慣性モーメントを読む際には、慣性モーメントではなく、「面積の極性第二モーメント」を参照していることを確認するように注意してください。極の第二面積モーメントは、長さの単位が４乗になる（例：m 4 {\displaystyle m^{4}}{\displaystyle m^{4}} or i n 4 {\displaystyle in^{4}}{\displaystyle in^{4}}）が、慣性モーメントは質量×長さの２乗である（例：k g ∗ m 2 {displaystyle kg*m^{2}{\displaystyle kg*m^{2}} or l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}}）。{\displaystyle lb*in^{2}}).

極域第二モーメント（「極域慣性モーメント」とも呼ばれる）は、物体の形状の関数としてねじりに抵抗する能力の尺度です。これは垂直軸の定理を介してリンクされた面積の第二モーメントの一つの側面であり、平面的な第二モーメントがビームの中立軸に平行な平面で力が加えられたときの変形（曲げ）に対する抵抗力を記述するためにビームの断面形状を使用し、極的な第二モーメントがビームの中立軸に垂直な平面でモーメント（トルク）が加えられたときの変形（ねじり）に対する抵抗力を記述するためにビームの断面形状を使用しています。平面的な第２の面積のモーメントは、I {displaystyle II}という文字で表されることが多いが、極的な第２の面積のモーメントは、I z {displaystyle I_{z}のどちらかで表されることが多い。}{\displaystyle I_{z}}または、文字、J {displaystyle J}{\displaystyle J}工学の教科書に掲載されています。

極域第二モーメントの計算値は、自動車のアクスルやドライブシャフトのように、固体または中空の円筒形シャフトのねじれに対する抵抗を記述するために最もよく使用されます。非円筒形の梁やシャフトに適用すると、シャフト/梁の反りが原因で、極域第二モーメントの計算に誤りが生じます。このような場合は、値の計算に補正定数を加えたねじり定数を使用する必要があります。

面積の極の第２モーメントは、長さの単位を４乗まで（L 4 {{\displaystyle L^{4}}displaystyle L^{4}} ）、メートルを４乗まで（m 4 {\displaystyle m^{4{\displaystyle m^{4}}} ）メートル単位系で、インチを４乗まで（i n 4 {\displaystyle in^{4{\displaystyle in^{4}}} ）帝国単位系で運ぶ。直接計算のための数式は、図形の面積の上の倍数積分として与えられる。{\displaystyle R}at distance ρ{{displaystyle \rho }}{\displaystyle \rho } from anbitrary axis O {\displaystyle O{\displaystyle O}} .

J O = ∬ R ρ 2 d A {displaystyle J_{O}=\iint ﾘﾐｯﾂ _{R}rho ^{2}dA} .{\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA}

最も簡単な形では、極の面積のセカンドモーメントは、面積の２つの平面セカンドモーメントの和である{\displaystyle I_{x}}。{\displaystyle I_{y}}.Using Pythagorean theorem, the distance from axis O {displaystyle O}.{\displaystyle O}♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ρ{\displaystyle \rho }は、そのx {\displaystyle x}{\displaystyle x}とy {\displaystyle y}の{\displaystyle y}構成要素と、面積の変化 d A {\displaystyle dA}に分解することができる。

面積の平面的な第2モーメントの2つの公式が与えられている。

I x = ∬ R x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint ﾘﾐｯﾂ _{R}x^{2}dxdy}.{\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy}and I y = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=iint \limits _{R}y^{2}dxdy}. {\displaystyle I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy}

面積の極秒モーメントとの関係は次のように示すことができる。

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint ﾘﾐｯﾂ _{R}rho ^{2}dA}. {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA}

J O = ∬R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint ﾘﾐｯﾂ _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy}. {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy}

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint ﾘﾐｯﾂ _{R}x^{2}dxdy+\iint ﾘﾐｯﾂ _{R}y^{2}dxdy}. {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy}

∴ J = I x + I y {\displaystyle ∴ J=I_{x}+I_{y}}}. {\displaystyle \therefore J=I_{x}+I_{y}}

本質的には、極域第二モーメントの大きさが大きくなればなるほど（すなわち、物体の断面形状が大きくなればなるほど）、物体のねじりたわみを引き起こすためには、より多くのトルクが必要になります。しかし、これは構成材料によって物体に与えられるねじり剛性とは関係がないことに注意しなければなりません。材料の特性によって提供されるねじり剛性は、せん断弾性率G {displaystyle G}{\displaystyle G}として知られている。この２つの剛性成分を結びつけることで、梁のねじれ角θを計算することができる。{\displaystyle \theta }を使用しています。

θ = T l J G {\displaystyle Θ = {\frac {Tl}{JG}}}}}}}}。 {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}}

ここで、T {\displaystyle T{\displaystyle T}}は適用されるモーメント（トルク）であり、l {\displaystyle l}は梁の長さである{\displaystyle l}。このように、トルクが大きく、梁の長さが長いほど、角度偏向が大きくなり、極域第二モーメントJ {displaystyle J}の値が大きくなる。{\displaystyle J}材料せん断弾性率G {displaystyle G}。を使用すること{\displaystyle G}で、角度方向のたわみの可能性を低減させることができます。

軸oについての任意の形状の面積Rについて、面積の極秒モーメント（「極慣性モーメント」）がどのように計算されるかを示す模式図であり、ρは要素dAまでの半径方向の距離である。Zoom
軸oについての任意の形状の面積Rについて、面積の極秒モーメント（「極慣性モーメント」）がどのように計算されるかを示す模式図であり、ρは要素dAまでの半径方向の距離である。

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質問と回答

Q:物理学でいう慣性モーメントとは何ですか?


A:物理学でいう慣性モーメントとは、厳密には軸からの距離に対する質量の2次モーメントのことで、トルクをかけたときの物体の角加速度を特徴付けるものです。

Q: 工学でいう極座標2次モーメントとは何を指すのでしょうか?


A:工学（特に機械・土木）において、慣性モーメントは一般的に面積の2次モーメントを指します。極座標慣性モーメントを読むときは、慣性モーメントではなく、「極座標面積2次モーメント」を指していることを確認するよう注意してください。面積の極座標2次モーメントは、長さの4乗（例:m^4またはin^4）の単位を持つ。

Q:面積の極座標2次モーメントの計算方法は?


A: 直接計算するための数式は、任意の軸Oから距離ρの位置で、形状の面積Rに対する倍数積分として与えられます。J_O=∬Rρ2dA. 最も単純な形では、極性2次モーメント

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