ウェーブレット変換

ウェーブレット変換は、信号の時間周波数表現です。例えば、ノイズ除去、特徴抽出、信号圧縮などに使用します。

連続信号のウェーブレット変換は

b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}int _{-\infty }^{\infty }}{f(t)を\psi ^{*}left({\frac {t-b}{a}right}) }dt, } . $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$

孰れ

ψψ {displaystyle ψψ} $\psi$ は、いわゆるマザーウェーブレットと呼ばれるものです。
a {displaystyle a}は、ウェーブレット拡張を示す。
b {\displaystyle b $b$ }はウェーブレットのタイムシフトを表します。
∗ $*$ 印は複素共役を表します。

a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}} $a={a_{0}}^{m}$ and b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT}の場合。 $b={a_{0}}^{m}kT$ , where a 0 > 1 {displaystyle a_{0}>1} {displaystyle a_{0}>1}. $a_{0}>1$ T > 0 {\displaystyle T>0} and m $T>0$ {\displaystyle m} and k {\displaystyle k} は整数定数であり、ウェーブレット変換は離散ウェーブレット変換（連続信号の）と呼ばれる。

a = 2 m {displaystyle a=2^{m}} $a=2^{m}$ and b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT}の場合。 $b=2^{m}kT$ where m > 0 {displaystyle m>0} ここでは、m > 0 {displaystyle m>0} $m>0$ の場合、離散ウェーブレット変換は、ダイアディックと呼ばれる。これは次のように定義される。

W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t )ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {displaystyle ¶left[W_{\psi }fright](m.k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{m}t-kT\right)}dt\, } . $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$

孰れ

m {displaystyle m}は周波数スケール。
k {displaystyle k}は時間スケールであり
T {displaystyle T $T$ }は、母波レットに依存する定数である。

二次元離散ウェーブレット変換を

W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=int _{-\infty }^{infty }{f(t)h_{m}left(2^{m}kT-t\right)}dt, } . $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$

ここで、h m {\displaystyle h_{m}}は $h_{m}$ 、連続フィルタのインパルス特性で、ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}^{*}} ${\psi _{m}}^{*}$ と同じである。

同様に、離散時間を持つ（離散信号の）二項式ウェーブレット変換は、次のように定義されます。

周波数破壊信号の連続ウェーブレット変換5つの消失モーメントを持つシンボレットを使用した。

質問と回答

Q:ウェーブレット変換とは何ですか?

A:ウェーブレット変換とは、ノイズ除去、特徴抽出、信号圧縮に用いられる信号の時間-周波数表現である。

Q: 連続信号のウェーブレット変換はどのように定義されますか?

A: 連続信号のウェーブレット変換は、母ウェーブレットを乗じた関数の全値に対する積分として定義され、パラメータ「a」と「b」はそれぞれ拡張と時間シフトを表します。

Q: ダイアディック離散ウェーブレット変換とは何ですか?

A: ダイアディック離散ウェーブレット変換とは、通常の離散ウェーブレット変換を周波数スケール「m」、時間スケール「k」、定数「T」で離散化した変換です。この変換は、ある関数のすべての値に対する積分と、与えられたmに対して母ウェーブレットと同じインパルス特性フィルタを掛けたものとして書き直すことができます。

Q: この文脈で「マザーウェーブレット」とは何を指すのですか?

A: この文脈では、「マザーウェーブレット」は、特定のタイプの変換（この場合はウェーブレット変換）を計算するための基礎を形成するために他の関数と組み合わせて使用される関数を指します。

Q: ダイアディックディスクリートウェーブレットはどのように計算するのですか?

A: ダイアディック離散ウェーブレットは、関数のすべての値に対する積分と、与えられたmに対してマザーウェーブレットと同じインパルス特性フィルタを掛けて計算します。さらに、パラメータとして周波数スケールm、時間スケールk、定数Tを必要とします。

Q: 連続ウェーブレットを定義するとき、'a'と'b'は何を表すのですか?

A: 連続ウェーブレットを定義するとき、'a'は拡張を表し、'b'は時間シフトを表します。