ゼノンのパラドックス

アキレスとカメ

アキレスと亀」のパラドックスでは、アキレスは亀と競歩している。アキレスは亀に、例えば100メートルの先行きを許します。一人は非常に速く、一人は非常に遅く、それぞれ一定の速度で走り始めたとする。ある一定の時間が経過すると、アキレスは100メートル走り、カメのスタート地点に到達します。この間、遅い方のカメはもっと短い距離を走っていることになります。アキレスがその距離を走るにはさらに時間がかかり、その間にカメはさらに前進することになる。そして、アキレスがこの第3地点に到達するまでには、さらに時間がかかり、その間、亀はまた先に進んでいる。このように、アキレスは亀が行ったところに到達しても、まだ先があるのです。したがって、アキレスが亀のいるところに到達しなければならない地点は無限にあるので、決して亀を追い越すことはできないのである。

二項対立のパラドックス

A地点からB地点に行くには、まず半分の距離を移動しなければならない。次に、残りの半分を移動する。このようなことを繰り返していると、常にわずかな距離が残り、ゴールに到達することはない。1＋1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋......といった具合に、必ず次の数字が加わっていく。だから、どの点Aからどの点Bへも移動することは不可能とみなされる。

解説

そこで、ゼノンのパラドックスとなるわけだが、この2つの現実は同時に成立し得ない。したがって、次のどちらかである。1.現実には、時間や距離、あるいはその他のものの離散的な量や増分などというものは存在しない。3. 数学的なものと常識や哲学的なものの2つを統合する第3の現実像があるが、我々にはまだ完全に理解する手段がない。

解決策提案

亀がアスリートと競争して勝つと賭ける人はほとんどいないでしょう。しかし、この議論のどこが悪いのだろうか。

ゼノンに関する多くの情報の源であるアリストテレスは、（二項対立のパラドックスにおける）距離が小さくなるにつれて、各距離を移動する時間が非常に小さくなることを指摘した。アルキメデスは紀元前212年以前に、徐々に小さくなる無限に多くの項の和（1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋1/32＋...）に対して有限の答えを導き出す方法を開発していた。現代の微積分は、より厳密な方法を用いて、同じ結果を得ることができる。

w:Carl Boyerのような数学者の中には、ゼノンのパラドックスは単なる数学的問題であり、現代の微積分が数学的解答を提供すると考える者もいる。しかし，ゼノンの問いは，無限に続く一連のステップに一歩ずつ近づいていくと，問題が残る．これは超難問と呼ばれる。微積分は、実際には数字を1つずつ足していくのではない。その代わり、足し算が近づいている値（極限と呼ばれる）を決定する。

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