微積分入門：定義と仕組み — 微分・積分の基礎と応用

1670年代から1680年代にかけて、イギリスのアイザック・ニュートン卿とドイツのゴットフリート・ライプニッツが、それぞれ別の方法で同時に微積分を考え出した。ニュートンは、天空のどこに惑星があるかを予測する新しい方法を求めていました。天文学は昔から人気のある有用な科学であり、夜空の天体の動きを知ることは船の航行に重要だったからです。ライプニッツは、曲線（直線ではない線）の下の空間（面積）を測りたいと考えていた。それから何年も経って、二人はどちらが先に発見したかで議論した。イギリスの科学者はニュートンを支持したが、他のヨーロッパの科学者はライプニッツを支持したのである。現在、ほとんどの数学者は、二人の功績を同等に評価している。現代の微積分は、物理学での利用など、ニュートンに由来する部分もあれば、ライプニッツに由来する部分もあります。また、微積分の記述に使われる記号など、ライプニッツに由来する部分もあります。

アリストテレスやピタゴラスはそれよりも早く、ガリレオ・ガリレイも「数学は科学の言語である」と言っていました。アリストテレスやピタゴラスの方が早かったし、ガリレオ・ガリレイも「数学は科学の言葉」と言っていた。

calculus」という名前は、古代ローマ人が数を数えたり、ギャンブルに使っていた小さな石を意味するラテン語でした。英語のcalculate（計算する）も同じラテン語から来ています。

微分法は、ある変数と他の変数を比較して、その変化率を求めるために用いられます。

現実の世界では、動いている物体の速度を求めたり、電気や磁気の仕組みを理解したりするのに使われています。物理学をはじめとする多くの科学分野を理解する上で、とても重要なものです。

微分積分はグラフ作成にも役立ちます。曲線の傾きや、曲線の最高点・最低点（これを最大・最小といいます）を求めるのにも使えます。

変数はその値を変えることができます。数字は常に同じであるため、これは数字とは異なります。例えば、数字の1は常に1と等しく、数字の200は常に200と等しいです。X」は、ある時点では「1」、別の時点では「200」になります。

変数の例としては、距離と時間があり、これらは変化することができます。物体の速度とは、特定の時間内にどれだけの距離を移動したかを表します。例えば、ある町まで80kmの距離があり、車に乗った人が1時間で到着した場合、平均時速80kmで移動したことになります。しかし、これはあくまでも平均であって、高速道路では速く、信号や人が住む小さな通りでは遅くなることもあるでしょう。スピードメーターがなく、オドメーター（距離計）と時計だけで車の速度を測ろうとしているドライバーを想像してみてください。

微積分が発明されるまでは、この問題を解決する唯一の方法は、時間をどんどん小さく切っていき、小さい時間での平均速度を、ある時点での実際の速度にどんどん近づけていくことでした。これはとても長くて大変な作業で、何かを解決しようとするたびに行わなければなりませんでした。

よく似た問題に、曲線上の任意の点における傾き（どれだけ急であるか）を求めるものがあります。直線の傾きは簡単に計算できます。それは単純に、どれだけ上に行くか（yまたは垂直）をどれだけ横に行くか（xまたは水平）で割ったものです。しかし、曲線では、線が曲がっているので、傾きは変数（異なる点で異なる値を持つ）になります。しかし、曲線を非常に小さく切り分けると、その点での曲線は非常に短い直線のようになります。そこで、その傾きを求めるために、その点を通る直線を、その点の曲線と同じ傾きで引くことができます。正確に行えば、その直線は曲線と同じ傾きを持つことになり、これを接線と呼びます。しかし、接線が正確に正しいかどうかを知る方法は（非常に複雑な数学なしには）ありませんし、私たちの目は、正確なのか、単に非常に近いのかを確かめるほど正確ではありません。

ニュートンとライプニッツが見つけたのは、シンプルで論理的なルールを使って、傾き（距離の例では速度）を正確に計算する方法でした。彼らは、曲線を無限の小さな断片に分割しました。そして、興味のある範囲の両側の点を選び、それぞれの点で接線を計算しました。興味のある点に向かって点が近づくにつれ、接線が曲線の実際の傾きに近づくにつれ、傾きは特定の値に近づいていきました。近づいた特定の値が実際の傾きであった。

例えば、関数y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)}があったとする。fはfunctionの略で、この式は「yはxの関数である」という意味である。これは、縦軸のyの高さが、その時のx（横軸）の高さに依存することを意味している。例えば、2y＝xという式では、「x＝x^{2}」となります。という式では、xが1ならばyは1、xが3ならばyは9、xが20ならばyは400になることがわかる。この方法で生成される微分は x2 {displaystyle 2x} である。つまり、2にxを掛けたものが、x{{displaystyle x}}である。つまり、接線を引かなくても、曲線 f ( x ) = x のどの点においても、2微分 f ′ ( f(x)=x^{2}} が得られることがわかる。曲線f ( x ) = x {\displaystyle f'(x)}上の任意の点において、導関数f′ ( x ) {\displaystyle f'(x)}が存在することが、接線を引かなくてもわかる。(素数記号で示されている)は、どの点においてもx2 {\displaystyle 2x}となる。このように極限を利用して傾きを求めることを「微分」または「導関数を求める」という。

数学における微分の書き方は、f ′ ( x ) = lim h → f 0( x + h ) - f ( x ) h .{displaystyle f^{\prime }(x)=\ _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}

ライプニッツも同様の結果を得たが、hを「d x {displaystyle dx}」と呼んだ。「これは「xに関して」という意味である。彼は、結果として生じるf ( x ) の変化を {\displaystyle f(x)} と呼んだ。"d y {\\ dy}「と呼び、これは「ほんの少しのy」という意味である。ライプニッツの表記法は、方程式が複雑になったときに理解しやすいので、より多くの書籍で採用されている。ライプニッツ記法では、d y d x = f ′ ( x ) {\frac {dy}{dx}}=f'(x)}となる。

数学者は、この基本的な理論を発展させて、ほとんどすべての関数の微分を求めるために使用できる簡単な代数規則を作った。

積分計算とは、ある関数のグラフの下にある面積を計算することです。例えば、車の走行距離を計算する場合、ある時点での車の速度を知り、その速度のグラフを描けば、車の走行距離はそのグラフの下の面積になります。

その方法は、グラフをたくさんの小さなピースに分割して、それぞれのピースの下に非常に薄い長方形を描くことです。長方形がだんだんと細くなるにつれて、長方形はグラフの下の領域をよりよく覆うようになります。長方形の面積は簡単に計算できるので、すべての長方形の合計面積を計算します。薄くなった長方形は、この面積の合計値がグラフの下の面積に近づいていきます。最終的な面積の値を関数の積分値といいます。

数学では、関数f(x)のaからbへの積分は、∫a b f ( x ) d x {\\ limits _{a}^{b}f(x)୨୧}と書かれる。

微積分学の主な考え方を微積分学の基本定理といいます。この主旨は、微分法と積分法という2つの微積分の過程が相反するものであるというものです。つまり、微分法を使えば、積分法を元に戻すことができます。また、微分積分法を元に戻すために、積分法を使うこともできます。これはちょうど、割り算を使って掛け算を「元に戻す」ことや、足し算を使って引き算を「元に戻す」ことと同じです。

基本定理を一文で表すと、次のようになります。「関数fの積分の微分は、その関数そのものである」。

微積分は、自然界のように変化するものを表現するのに使われます。これらすべてを示し、学ぶために使うことができます。

• 波の動き方。自然界では、波はとても重要です。例えば、音や光は波と考えることができます。
• 家の中のように、熱が移動する場所。これは建築（家を建てること）にも役立ち、家をできるだけ安く暖められるようになります。
• 原子のような非常に小さなものがどのように作用するか。
• 何かが落ちる速さのことで、重力とも呼ばれる。
• 機械がどのように動くのか、力学とも呼ばれています。
• 地球の周りを移動する月の軌道。また、太陽の周りを移動する地球の軌道や、宇宙のあらゆるものの周りを移動する惑星や月の軌道もあります。