ヴェンデリン・ヴェルナー — フィールズ賞受賞の確率論・数理物理学者（SLE・2次元ブラウン運動）

フィールズ賞受賞者ヴェンデリン・ヴェルナーのSLE・2次元ブラウン運動を軸に、確率論と数理物理学への革新的貢献を解説。

ヴェンデリン・ヴェルナー（1968年9月23日生まれ）は、ドイツ生まれのフランスの数学者である。自己回避ランダムウォーク、ブラウン運動、Schramm-Loewner進化などのランダム過程、確率論、数理物理学を研究している。2006年、「確率的ローワー進化、2次元ブラウン運動の幾何学、共形場理論の発展への貢献により」フィールズ・メダルを受賞した。チューリッヒ工科大学教授。

略歴（概略）

1968年生まれ。ドイツで生まれ、フランスの研究・教育機関で研究を続ける中で国際的に高い評価を得た。確率論と数理物理の接点に位置する問題に取り組み、ランダム曲線や平面ランダム過程の共形不変性・幾何学的性質の解明に大きく貢献した。現在はチューリッヒ工科大学の教授として研究・教育に従事している。

主な研究分野と成果

• Schramm–Loewner 進化（SLE）とランダム曲線の理論化 — SLEは平面格子モデルの連続極限（スケーリング極限）を記述する確率過程として導入されたもので、ヴェルナーはこの枠組みを用いて多くのモデルの共形不変性や臨界挙動の理解を深めた。
• 2次元ブラウン運動の幾何学 — ブラウン運動の外側境界（フロンティア）のハウスドルフ次元が 4/3 であることなど、平面ブラウン運動の幾何学的・確率的性質に関する重要な結果の確立に貢献した。これにより、マンデルブロートが提起した予想（ブラウン運動の境界次元に関する予想）などが解決の方向へ進んだ。
• 共形場理論（CFT）との接続 — SLE のパラメータに応じて統計物理モデル（臨界過程）と結びつけることで、共形不変性を前提とした理論的予測を確率論的に裏付ける研究を行った。これにより、臨界パーコレーションや自己回避歩行などのモデルのスケーリング則や臨界指数の理解が進んだ。
• 共形制限（conformal restriction）や共形ループ集合（CLE） — 平面上のランダム集合が満たすべき「制限性質」を調べ、共形ループ集合というランダムループの集合を表す理論的枠組みの発展に寄与した。

研究の意義と影響

ヴェルナーの仕事は、確率論と統計物理の境界にある多くの問題を厳密に扱えるようにし、ランダム曲線の理論を体系化した点で特に重要である。平面での共形不変性という概念を確率的に実証することにより、格子モデルのスケーリング極限に関する数学的基盤を強化し、物理学側の理論（共形場理論など）と厳密解析をつなぐ架け橋を築いた。

受賞と評価

• フィールズ・メダル（2006年） — 「確率的ローワー進化、2次元ブラウン運動の幾何学、共形場理論の発展への貢献」に対して授与された。これは確率論・数理物理の分野での卓越した業績が国際的に認められた出来事である。
• 上記以外にも国際的な学術賞や招待講演など多数の栄誉を受け、分野への影響力は大きい。

出典・参考としての位置づけ

ヴェルナーの業績は、ランダム過程の教科書的理解や専門書・レビューの基礎となっており、確率論・数理物理・幾何学的解析を学ぶ研究者にとって重要な参照点となっている。彼の論文群や解説は、SLE・CLE・ブラウン運動に関する現代的な理論体系を学ぶ際の基本文献として広く参照されている。

注：本稿は主要な業績とその意義を概説したものであり、個々の論文や細かな業績群については専門文献や総説を参照してください。

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