ブラウン運動とは：定義・歴史・アインシュタインと確率過程の解説

ブラウン運動の定義と発見史、アインシュタインの理論と確率過程による数学的解説をわかりやすく紹介。

ブラウン運動とは、液体や気体中の粒子の熱的な衝突により生じる自発的でランダムな運動を指します。

発見と歴史的背景

この現象は1827年に植物学者ロバート・ブラウンが顕微鏡観察の際に報告しました。彼は水中の花粉から出た微小な粒子が不規則に動くのを観察しましたが、その原因を当時は突き止められませんでした。

19世紀末から20世紀初頭にかけて、原子や分子の存在が理論的に受け入れられつつある中で、ブラウン運動は原子論を実験的に裏付ける重要な手がかりとなりました。アルバート・アインシュタインは1905年にブラウン運動に関する論文を発表し、微小粒子の拡散が周囲の分子からの衝突によるものであることを理論的に示しました。これにより、分子運動と観測される粒子の移動の間に定量的な関係が導かれ、原子や分子の実在に対する確かな証拠が提供されました。

その後、ジャン・ペラン（Jean Perrin）は実験的検証を行い、1908年ころからの一連の実験でアインシュタインの理論を支持しました。ペランの研究は原子の存在と物質の不連続構造の理解に寄与し、彼は1926年にノーベル物理学賞を受賞しました。

物理的な原因とスケール

ブラウン運動の原因は、粒子よりはるかに小さい周囲の分子（気体分子や液体分子）が熱運動しており、これらの分子が微粒子に不規則に衝突することです。衝突の回数は非常に多く、各衝突の効果は小さいため、個々の衝突を追跡するのではなく、確率論的・統計的手法で記述します。

観察される運動の大きさや時間スケールは粒子の半径や周囲の粘性、温度に依存します。典型的には、粒子の平均二乗変位（mean squared displacement, MSD）は時間に比例して増加します。1次元の場合、次の関係が成り立ちます：

⟨x²(t)⟩ = 2 D t

ここで D は拡散係数で、アインシュタインの関係式により温度 T、流体の粘度 η、粒子半径 r、ボルツマン定数 kB を用いて

D = k_B T / (6 π η r)

と表されます（球形粒子、低レイノルズ数、スティークスの抵抗則が成り立つ場合）。この式は実験的に検証され、微視的な熱運動がマクロな拡散として現れることを示します。

理論的発展と確率過程としての取り扱い

アインシュタインやほぼ同時期に独立して研究を行ったマリアン・スモルチコフスキ（Smoluchowski）は統計力学的アプローチからブラウン運動を記述しました。これらの物理学的モデルは分子衝突の統計的効果を用いて拡散係数や平均移動量を導きます。

一方、純粋に数学的・確率論的なモデルとしてブラウン運動を扱う概念も発展しました。単純なものはランダムウォークで、微小刻みを極限まで細かくしたものが連続過程としてのブラウン運動（ウィーナー過程）になります。極限定理の一つであるドンスカーの定理により、適切にスケールしたランダムウォークがブラウン運動に収束することが示されます。

アルバート・アインシュタインやノルベルト・ウィーナーも、ブラウン運動の研究に大きく貢献しました。特にノルベルト・ウィーナーは数学的に厳密な確率過程としてのウィーナー過程（標準ブラウン運動）を構成し、確率論と解析学の接点を開きました。

標準的な確率論的性質（ウィーナー過程）

• 経路は連続であるが、ほとんど確実にどの点でも微分不可能である。
• 増分は独立であり、時間差に依存する分散（時間差に比例）を持つ。つまり、任意の 0 ≤ s < t に対して X(t) − X(s) は平均 0、分散 t − s の正規分布に従う（標準化した場合）。
• 増分は定常（stationary）で、時間のシフトに対して統計的性質が変わらない。

応用例

• 物理学・化学：拡散現象、混合、ナノスケールでの粒子運動の解析。
• 生物学：細胞内での分子や小顆粒の拡散、受容体や酵素のランダムな移動。
• 数学：確率過程論、確率微分方程式（SDE）の基礎過程としての利用。
• 金融工学：資産価格モデル（ブラック–ショールズなど）でのランダム性の記述にブラウン運動が利用される。

観測と実験

実験では光学顕微鏡やトラッキング技術、静的・動的光散乱、電気泳動などを用いてブラウン運動を詳細に解析します。効果的な実験条件は粒子サイズ、媒質の粘度、温度を調整することで得られ、アインシュタイン以降の理論と良く一致する結果が得られています。ペランの実験はアボガドロ数の推定にもつながり、原子論の受容を後押ししました。

まとめ

ブラウン運動は日常的には微小粒子の不規則な揺らぎとして観察されますが、その背後には熱運動する分子による多数の微小な衝突という明確な物理機構があります。アインシュタインやスモルチコフスキの理論、ペランの実験、さらにウィーナーらによる数学的定式化を経て、ブラウン運動は物理学・化学・生物学・数学・金融など多くの分野で基礎的かつ応用的に用いられる概念となりました。

歴史

ローマのルクレティウスの科学的な詩「物の性質について」（紀元前60年頃）には、第二書の113-140節に塵埃粒子のブラウン運動の記述がある。彼はこれを利用して、人々が原子の存在を確実に知ることができるようにしている。

"太陽光を建物に入れて、その影のある場所に小さな建物の光が当たるとどうなるか観察してみてください。あなたは、量の小さな粒子が量の方法で移動しているのを見るでしょう... "

ヤンIngenhouszは1785年にアルコールの上に石炭の粉塵の粒子の奇妙な動きを記述したが、これの発見は1827年に植物学者ロバート・ブラウンに与えられることが多い。ブラウンは、水中に懸濁させた植物クラークアプルシェラの花粉粒を顕微鏡で観察していたところ、花粉粒から放出された微粒子がジリジリとした動きをしているのを発見したのです。無機物の粒子を用いて実験を繰り返すことで、その起源は明らかにされていないが、この運動が生命に関連したものであることを断定することができた。

ブラウン運動の背後にある数学を最初に説明したのは、1880年に発表された最小二乗法に関する論文の中のThorvald N. Thieleでした。これに続いて、1900年にルイ・バチェリエが博士論文「投機の理論」で、株式市場とオプション市場の分析を発表しました。株式市場のブラウン運動モデルがよく使われていますが、ブノワ・マンデルブロは株価の動きへの適用性を否定しています。

アルベルト・アインシュタイン(1905年の論文の1つで)とマリアン・スモルチコフスキー(1906年)は、物理学者の注目を集め、間接的に原子と分子の存在を確認する方法として、この問題の解決策を提示しました。ブラウン運動を記述する彼らの方程式は、1908年のJean Baptiste Perrinの実験によって確認された。

Jean Baptiste Perrin の著書 Les Atomes から、顕微鏡下で見た 0.53 µm の線の粒子の動きの 3 つのトレースが表示されています。30秒ごとの連続した位置が直線で結ばれています（メッシュサイズは3.2μm）。

質問と回答

Q:ブラウン運動とは何ですか?

Q:誰がブラウン運動を発見したのですか?

Q:アルバート・アインシュタインは、ブラウン運動の理解にどのように貢献したのでしょうか?

Q:アインシュタインの理論を実験的に検証したのは誰ですか?

Q:このランダムなパターンはどのようにして起こるのですか?

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