合同
幾何学では、2つの図形や物体が同じ形と大きさを持っていれば合同である。また、一方が他方の鏡像と同じ形と大きさを持つ場合も同様である。
より正式には、2つの点の集合が、一方を他方にアイソメトリーで変換できる場合にのみ、合同と呼ばれます。アイソメトリーには、剛体運動が用いられる。
つまり、一方の物体を他方の物体と完全に一致するように位置を変えたり、反射させたりすることができます（サイズ変更はできません）。つまり、紙の上の2つの異なる平面図形を切り取り、完全に一致させることができれば、合同であると言えます。紙を裏返しても構いません。
合同多角形とは、正多角形を半分に折ると、合同多角形になる多角形のことです。
2つの幾何学的形状は、一方を移動または回転させて、もう一方の位置にぴったり合わせることができれば、合同である。一方の物体の大きさを変えなければならない場合、2つの物体は合同ではなく、単に類似していると呼ばれます。
2つの図形や物体が一致している場合、それらは同じ形と大きさを持っていますが、それらを回転、移動、鏡像（反射）、翻訳することで、もう一方の場所にぴったりと合うようにすることができます。
合同点の例。左側の2つの三角形は合同で、3つ目の三角形はそれらに似ています。最後の三角形は、他のどの三角形とも似ていないし、合同でもない。合同性は、位置や向きなどの一部の性質を変えることができますが、距離や角度などの他の性質は変えられないことに注意してください。変わらない性質を不変量といいます。
例
- 辺の長さが同じである正方形はすべて合同である。
- 辺の長さが同じ正三角形はすべて合同である。
一致性のテスト
- 2つの三角形の2つの角とその間の辺が同じである（ASA congruence）
- 2つの角とその間にない辺が両方の三角形で同じである（AAS congruence）
- 両方の三角形の3辺がすべて同じであること（SSS合同）
- 2つの辺とその間の角度で、2つの三角形が合同になる（SAS congruence）
どのようにして新しい合同図形を得ることができるのでしょうか？
私たちにはかなりの数の可能性があり、元の形と一致する新しい形を作るためのいくつかのルールがあります。
- ある幾何学的な形状を平面上で移動させると、元の形状と合同な形状が得られます。
- シフトではなく回転させれば、元の形と一致する形になります。
- 元の形の鏡像を取っても、合同な形になります。
- この3つの活動を次々と組み合わせていくと、やはり合同の形になります。
- 合同の形はもうありません。より正確には、元の形と合同の形があれば、上述の3つの活動でたどり着けるということです。
ある図形が他の図形に一致するという関係には、3つの有名な性質があります。
- 元の形を元の場所に放っておくと、それ自体が合目的的になります。この行動、この性質を反射性といいます。
例えば、上記のシフトが適切なシフトではなく、長さがゼロの動きをするシフトでしかない場合。または、同様に、上記の回転が適切な回転ではなく、角度ゼロの回転でしかない場合。
- ある形状が他の形状と一致している場合、この他の形状も元の形状と一致していることになります。このような振る舞い、性質を対称性といいます。
例えば、新しい形を元の形に戻したり、回転させたり、鏡に映したりすると、元の形と新しい形が一致します。
- 形Cが形Bと合同で、形Bが元の形Aと合同であれば、形Cも元の形Aと合同である。この振る舞い、この性質を推移性という。
例えば、最初にシフトをかけ、次に回転をかけると、結果として新しい形状は元の形状と一致します。
有名な3つの性質、反射性、対称性、推移性は、一緒になって等価性の概念を作ります。従って、合同という性質は、平面の形状間の等価関係の一種である。
質問と回答
Q: 幾何学で2つの図形が合同であるとはどういうことですか?
A: 二つの図形が同じ形と大きさである場合、または一方が他方の鏡像と同じ形と大きさである場合、幾何学上、合同である。
Q: 2つの点の集合はどのように合同と呼ばれるのか?
A: 2つの点の集合は、一方が他方に等積で変換できる場合にのみ、合同と呼ばれます。
Q: アイソメトリで剛体運動は何に使われるのですか?
A: リジッドモーションは、幾何学的な図形のサイズを変更することなく、他のオブジェクトと正確に一致するように再配置、回転、反射するためにアイソメトリで使用されます。
Q: 2つの図形は、片方の大きさを変えなければ、もう片方の図形と一致しないのですか?
A:いいえ、片方が大きさを変えないともう片方と一致しない場合、その2つの図形は合同ではありませんが、類似と呼ばれます。
Q: 紙の上にある2つの異なる平面図形の合同について何が言えるか?
A: 紙の上にある2つの異なる平面図形を切り取って、必要なら紙を裏返して完全に一致させることができれば、合同であると言えます。
Q: 合同多角形とは何ですか?
A: 合同多角形とは、半分に折って別の正多角形を作ることができる多角形のことで、これも合同である。
Q: 幾何学で2つの物体が合同と呼ばれるための基準は何ですか?
A: 幾何学で2つの物体が合同と呼ばれる基準は、一方の物体の大きさを変えずに、もう一方の物体と正確に一致するように位置を変えたり、回転させたり、反射させたりすることができることである。
