合同（幾何学）の定義と判定方法 — 同形・同大の意味と性質
幾何学の「合同」を図解でわかりやすく解説。定義・判定法（辺・角・対応、合同条件）、同形・同大の違い、性質と証明のコツを具体例で紹介。
幾何学における合同の直感的な意味は、「形と大きさがまったく同じ」であることです。たとえば、2つの図形が紙の上で切り取って重ね合わせたときに完全に一致すれば合同です。鏡像（反射）によって一致する場合も合同に含まれます（紙を裏返して合わせてもよい）。原稿の一部にある次のような説明は残しつつ、内容を整理・補足します。
幾何学では、2つの図形や物体が同じ形と大きさを持っていれば合同である。また、一方が他方の鏡像と同じ形と大きさを持つ場合も同様である。
正式な定義
より正式には、2つの点集合が、一方を他方にアイソメトリー（距離を保つ写像）で移せるとき、それらは合同と呼ばれます。アイソメトリーは平行移動・回転・反射・すべり反射（平行移動と反射の合成）などの剛体運動を含み、図形の大きさ（長さや角度）を変更しません。原文の表現を補うと、「アイソメトリーには、剛体運動が用いられる。」は、「アイソメトリーは剛体運動に対応する変換である」と言い換えられます。
分かりやすい説明と例
つまり、一方の物体を他方の物体と完全に一致するように位置を変えたり、反射させたりすることができます（サイズ変更はできません）。紙の上の2つの異なる平面図形を切り取り、完全に一致させることができれば、合同であると言えます。紙を裏返しても構いません。
図形が合同であるときは、対応する辺の長さや対応する角の大きさがすべて等しくなります。たとえば線分や角、円弧、領域など、対応の決め方ができれば合同性を議論できます。合同であれば周の長さや面積も一致します。
多角形・三角形に関する注意点
原文にある「合同多角形とは、正多角形を半分に折ると、合同多角形になる多角形のことです。」という一文は誤解を招くので訂正します。正しくは：
- 多角形が合同であるとは、対応する頂点を一つずつ対応させたときに、すべての対応する辺の長さと角の大きさが等しいことを意味します。
- 特に三角形は合同条件がよく知られており、測れば確認しやすい形です。
代表的な三角形の合同条件（平面ユークリッド幾何）：
- SSS（辺辺辺）：3辺がそれぞれ等しければ合同。
- SAS（辺角辺）：2辺とその間の角がそれぞれ等しければ合同。
- ASA（角辺角）：2つの角とその間の辺がそれぞれ等しければ合同。
- AAS（角角辺）：2つの角とそれに対応する辺1つが等しければ合同（ASAと同様に扱える）。
- RHS（直角三角形の斜辺と一辺）：直角三角形において斜辺と他の1辺が等しければ合同（英語圏ではHLと呼ばれる）。
鏡像と向き（向き保存・向き反転）
アイソメトリーには向きを保つもの（平行移動・回転）と向きを反転するもの（反射）があります。鏡像になっても構わない場合は一般に「合同」と言いますが、鏡像を許さない厳密な意味（向き保存の合同）を区別することもあります。教育や問題によって「鏡像を含めるかどうか」を明確にしておくとよいでしょう。
性質と表記
- 合同は同値関係（反射性・対称性・推移性）です。
- 対応する辺・角が等しいため、周長や面積も一致します。
- 記法の例：ΔABC ≅ ΔDEF（「≅」は合同を表す記号）。
判定の実務的手法
図形の合同を確かめる方法はいくつかあります：
- 実際に図形を切り取って重ねる（物理的な方法）。
- 対応する長さ・角度を測る（測定）。
- 座標幾何を使う：一方の図形の点を座標で表し、もう一方の点との距離行列が一致するか、あるいは正交行列と並進ベクトルを使って変換 y = R x + t が存在するかを確かめる（計算的手法）。
- グラフ理論的には、距離（一点間距離）の全組が一致するかどうかで判断できる（離散集合の合同判定）。
高次元や一般化
合同の概念は平面に限らず、空間やより高次元のユークリッド空間にも拡張できます。基本は同じで「距離を保つ写像（アイソメトリー）が存在するかどうか」です。
類似との違い
合同は大きさも含めて完全に一致する関係です。対して、形が同じで大きさが異なる場合は類似している（相似）と言います。相似変換は回転・並進・反射に加え拡大縮小（スケーリング）を許します。
まとめ（チェックリスト）
- 対応する全ての距離が等しいか？（辺の長さなど）
- 対応する角が等しいか？
- 三角形ならSSS・SAS・ASA・AAS・RHSのどれかが満たされるか？
- 実際に重ねられるか、あるいは座標変換（正交行列＋平行移動）で一致するか？
以上が「合同（幾何学）の定義と判定方法」についての要点です。必要なら、具体的な図示例や三角形合同の証明例を追加で示しますのでお知らせください。
合同点の例。左側の2つの三角形は合同で、3つ目の三角形はそれらに似ています。最後の三角形は、他のどの三角形とも似ていないし、合同でもない。合同性は、位置や向きなどの一部の性質を変えることができますが、距離や角度などの他の性質は変えられないことに注意してください。変わらない性質を不変量といいます。
例
- 辺の長さが同じである正方形はすべて合同である。
- 辺の長さが同じ正三角形はすべて合同である。
一致性のテスト
- 2つの三角形の2つの角とその間の辺が同じである（ASA congruence）
- 2つの角とその間にない辺が両方の三角形で同じである（AAS congruence）
- 両方の三角形の3辺がすべて同じであること（SSS合同）
- 2つの辺とその間の角度で、2つの三角形が合同になる（SAS congruence）
どのようにして新しい合同図形を得ることができるのでしょうか？
私たちにはかなりの数の可能性があり、元の形と一致する新しい形を作るためのいくつかのルールがあります。
- ある幾何学的な形状を平面上で移動させると、元の形状と合同な形状が得られます。
- シフトではなく回転させれば、元の形と一致する形になります。
- 元の形の鏡像を取っても、合同な形になります。
- この3つの活動を次々と組み合わせていくと、やはり合同の形になります。
- 合同の形はもうありません。より正確には、元の形と合同の形があれば、上述の3つの活動でたどり着けるということです。
ある図形が他の図形に一致するという関係には、3つの有名な性質があります。
- 元の形を元の場所に放っておくと、それ自体が合目的的になります。この行動、この性質を反射性といいます。
例えば、上記のシフトが適切なシフトではなく、長さがゼロの動きをするシフトでしかない場合。または、同様に、上記の回転が適切な回転ではなく、角度ゼロの回転でしかない場合。
- ある形状が他の形状と一致している場合、この他の形状も元の形状と一致していることになります。このような振る舞い、性質を対称性といいます。
例えば、新しい形を元の形に戻したり、回転させたり、鏡に映したりすると、元の形と新しい形が一致します。
- 形Cが形Bと合同で、形Bが元の形Aと合同であれば、形Cも元の形Aと合同である。この振る舞い、この性質を推移性という。
例えば、最初にシフトをかけ、次に回転をかけると、結果として新しい形状は元の形状と一致します。
有名な3つの性質、反射性、対称性、推移性は、一緒になって等価性の概念を作ります。従って、合同という性質は、平面の形状間の等価関係の一種である。
質問と回答
Q: 幾何学で2つの図形が合同であるとはどういうことですか?
A: 二つの図形が同じ形と大きさである場合、または一方が他方の鏡像と同じ形と大きさである場合、幾何学上、合同である。
Q: 2つの点の集合はどのように合同と呼ばれるのか?
A: 2つの点の集合は、一方が他方に等積で変換できる場合にのみ、合同と呼ばれます。
Q: アイソメトリで剛体運動は何に使われるのですか?
A: リジッドモーションは、幾何学的な図形のサイズを変更することなく、他のオブジェクトと正確に一致するように再配置、回転、反射するためにアイソメトリで使用されます。
Q: 2つの図形は、片方の大きさを変えなければ、もう片方の図形と一致しないのですか?
A:いいえ、片方が大きさを変えないともう片方と一致しない場合、その2つの図形は合同ではありませんが、類似と呼ばれます。
Q: 紙の上にある2つの異なる平面図形の合同について何が言えるか?
A: 紙の上にある2つの異なる平面図形を切り取って、必要なら紙を裏返して完全に一致させることができれば、合同であると言えます。
Q: 合同多角形とは何ですか?
A: 合同多角形とは、半分に折って別の正多角形を作ることができる多角形のことで、これも合同である。
Q: 幾何学で2つの物体が合同と呼ばれるための基準は何ですか?
A: 幾何学で2つの物体が合同と呼ばれる基準は、一方の物体の大きさを変えずに、もう一方の物体と正確に一致するように位置を変えたり、回転させたり、反射させたりすることができることである。
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