エンネアデカゴン（19角形）とは？性質・面積公式・対称性

基本的な幾何公式

辺の長さを s とする正エンネアデカゴンでは、よく用いられる式は次のとおりである。

• 周長: P = 19s。
• 外接円半径: R = s / (2 sin(π/19))。
• 内接円半径: r = s / (2 tan(π/19))。
• 面積: A = (19/4) s^2 cot(π/19)。これは、19個の二等辺三角形に分割することで得られる。

対称性と星形多角形

正エンネアデカゴンの完全な対称群は二面体群 D19 で、位数は38であり、19個の回転と19個の反射からなる。19は素数なので、各頂点を k 個おきに結んでできる正則星形多角形の族がある。つまり {19/2}, {19/3}, ..., {19/9} の9種類の非自明な星形多角形に加えて、凸の {19} がある。

作図可能性と代数的な注意

フェルマー素数の因数構造をもつ多角形とは異なり、正エンネアデカゴンは定規とコンパスだけでは作図できない。19はフェルマー素数ではなく、円分拡大の次数は18で、2の冪ではないためである。頂点の正確な座標は19乗根を用いて表せるので、sin(π/19) や cos(2π/19) のような三角定数が現れる。

歴史的には、ギリシア語由来の名称は ennea（9）、deka（10）、そして -gon（角）を組み合わせたものである。nonadecagon という形は、現代ラテン語/英語の数え方に由来する。エンネアデカゴンは辺の数が多いため実用的なデザインではまれだが、数学の例、パズル、または敷き詰め模様や装飾的な星形パターンのモチーフとして現れる。

図や詳細な作図、19角形に関係する三角関数値の数表については、正エンネアデカゴンの詳しい解説を参照。