多角形は、有限個の直線分を順に端点どうしでつないで作られる閉じた二次元図形である。初等幾何学では、3本以上の直線辺に囲まれた平面図形として説明されることが多い。簡潔な幾何学的参照としては 2次元図形、基礎的な説明としては 図形の定義 がある。最もなじみ深い例は三角形と四角形であり、これらは数学、芸術、工学で広く用いられる多角形の仲間を形づくっている。
定義と基本的な性質
多角形は、頂点（角の点）の列と、頂点を結ぶ辺（直線分）の列によって特徴づけられる。平面ユークリッド幾何学における最小の通常の多角形は三角形であり、平面幾何については ユークリッド幾何学 を参照できる。各多角形には内角があり、その和は辺の数に依存する。単純な n 角形では、ユークリッド平面幾何学で測ると内角の和は (n−2)×180° になる。三角形は n=3 の場合であり、さらに詳しくは 三角形の概説 を見るとよい。
構成要素、分類、代表的な変種
- 頂点と辺: 頂点の順序付きリストと、それらを結ぶ辺によって多角形の形が定まる。
- 単純と複雑: 単純多角形では辺同士は交差しない。辺が交差する場合は、自己交差多角形または複雑多角形と呼ばれることが多く、星形多角形はその例である。
- 凸と凹: 凸多角形ではすべての内角が180°以下で、内部の任意の2点を結ぶ線分は図形の内部に含まれる。凹多角形では少なくとも1つの内角が180°を超える。
- 正多角形: すべての辺と角が等しいもの（正 n 角形）は、古典幾何学や対称性の研究で中心的な役割を果たす。
- 非ユークリッド的・球面上の例: 曲面上では多角形の概念も適応される。たとえば球面上では、大円弧で囲まれた領域として定義でき、二角形や一角形のような特別な場合も球面幾何学に現れる。詳しくは 球面幾何学、二角形、一角形 を参照。
歴史と数学的発展
多角形の研究は古代にさかのぼり、ギリシャの数学者たちは正多角形、定規とコンパスによる作図法、多角形と円の関係を分析した。時代が進むにつれて、この विषयは代数的な記述、敷き詰め理論、対称群の分類へと広がっていった。現代数学では、多角形は平面位相、計算幾何学、組合せ論における基本的な対象として扱われる。
用途、例、重要性
多角形は理論・実用のさまざまな場面に現れる。建築設計図や工学では多角形の形状がよく使われ、タイル張りやモザイクは多角形の敷き詰めに基づいている。また、コンピュータグラフィックスや3Dモデリングでは、複雑な曲面を多角形のメッシュ、通常は三角形の集まりで近似する。これは数値的安定性と単純さによるものである。詳しくは コンピュータグラフィックス を参照。多角形のクリッピング、三角形分割、点の内外判定のアルゴリズムは、地理情報システム（GIS）、ロボット工学、CADで基本となる。
特徴的な事実と考慮点
- 数え上げの性質: 辺の数が決まると、対角線の本数、三角形分割の方法数、異なる形の数など、組合せ論的な問いが多く生じる。
- 位相と幾何: 位相的には、単純多角形は閉円板と同値である。一方、幾何学的な測定値は、どのように埋め込まれ、どの計量を用いるかに依存する。
- 特殊な作図: ある辺数をもつ正多角形は古典的な道具で作図できるが、別のものは現代的な方法を要するか、定規とコンパスでは作図できない。
- 他分野への応用: 多角形は曲線や曲面の離散モデルを与え、シミュレーション、有限要素法、視覚表現で使われるメッシュの構成要素となる。
このように、多角形は基本的でありながら、数学、科学、芸術の多くの分野と深く結びついている。入門的な説明やより厳密な扱いについては、初等幾何学の資料や計算幾何学、球面位相に関する専門文献を参照するとよい。