ガウスの消去法

数学では、ガウス消去（行削減とも呼ばれる）は、一次方程式の系を解くために使用される方法である。この方法について書いた有名なドイツの数学者カール・フリードリッヒ・ガウスにちなんで命名されましたが、この方法を発明したわけではありませんでした。

ガウス除去を実行するには，線形方程式系の項の係数を用いて，拡張行列と呼ばれる種類の行列を作成します．次に，この行列を単純化するために，初歩的な行操作が用いられます．使用される行操作には、以下の3種類があります。

タイプ1：1つの行を別の行に切り替える

タイプ2: 行に0以外の数を乗算する。

タイプ3：別の行から1つの行を足したり引いたりすること。

ガウス除去の目的は，行列を行-列形式にすることです．行列が行-列形式である場合、左から右へ読むと、各行はその上の行よりも少なくとも 1 つ多くのゼロ項から始まることを意味します。ガウシアン消去の定義の中には，行列の結果が縮小された行エセロン形式でなければならないというものがあります．これは，行列が行-エヘロン形式であり，各行の唯一の非ゼロ項が 1 であることを意味します．縮小された行-エヘロン行列の結果を生成するガウス除去は，ガウス-ヨルダン除去と呼ばれることもあります．

例

この一次方程式の系の答えを見つけることが目的だとしましょう。

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {displaystyle {b\begin{alignedat}{7}2x&&&2}2x&&&2z&2\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}$

まず、システムを拡張行列に変換する必要があります。拡張行列では，各一次方程式が行になります．拡張行列の一方の面では，一次方程式の各項の係数が行列内の数値になります．拡張行列の反対側には、各一次方程式が等しくなる定数項があります。この系では，拡張行列は次のようになります．

2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {Greathe! $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

そして，拡張行列を単純化するために，拡張行列に対して行演算を行います．下の表は，方程式系と拡張行列に対する行の縮小処理を示しています．

方程式系	行操作	拡張行列
2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {displaystyle {begegin{alignedat}{7}2x&&&2}2x&&&&2}2x&&&&2}2x&&&&2}2x&&&&2}2x&&&2}2x&&&2}2x&&&2}2x&&&&2}2x&&&2}2x&&&2}2x&&&2\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {Greathe! $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 2 y + z = 5 {Spotographograph}2x&&&&;+&&y&&&&&&\;+&&y&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&& 2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {displaystyle R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}}rightarrow R_{2}}} {R_{2 $R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}$ R 3 + R 1 → R 3 {displaystyle R_{3}+R_{1}rightarrow R_{3}}}\! $R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}$	2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ] {display style ¶¶left! $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\displaystyle {begin{alignedat}{7}2x&&&\&&y;+&&&y;&&&&&&\&&&z;&&=;&&&&8&&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 3 + - 4 R 2 → R 3 {displaystyle R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}}}。 $R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}$	2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 0 - 1 1 ] {Greathe! $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$

行列は行列形式になりました。これは三角形の形式とも呼ばれます。

方程式系	行操作	拡張行列
2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\displaystyle {b\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&y&y}} &&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {displaystyle R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}}rightarrow R_{2}}} {R_{2}} {R_{3}} {R_{2}} {R_{3}} {R_{3 $R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}$ R 1 - R 3 → R 1 {displaystyle R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}} {R_{1}} {R_{1}} {R_{1}} {R_{3}} {R1 $R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$	2 1 0 7 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 0 - 1 1 ] {display style ¶¶left! $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {begegin{alignedat}{7}2x&&&\;+&&y\; &&&&;\;&&=\;7&&&&&&&&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	2 R 2 → R 2 {display style 2R_{2}→R 2 {display style 2R_{2} rightarrow R_{2}}} $2R_{2}\rightarrow R_{2}$ - R 3 → R 3 {displaystyle -R_{3} rightarrow R_{3}}} {displaystyle -R_{3} rightarrow R_{3}}} $-R_{3}\rightarrow R_{3}$	2 1 1 0 7 0 0 1 0 3 0 0 1 - 1 ] {Greatreathe! $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
x = 2 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&&&;And&\; &&&&\;And&=\;2&&&&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	R 1 - R 2 → R 1 {displaystyle R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}}}}。 $R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}$ 1 2 R 1 → R 1 {displaystyle {\frac {1}{2}R_{1}rightarrow R_{1}}}} R_{1 ${\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}$	1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 - 1 ] {\\ style }left! $\left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$