ホーン節

ホーン節とは、リテラルの論理的論理和で、リテラルのうちせいぜい1つが正で、他はすべて負である。これは、1951年の論文で説明したAlfred Hornにちなんで名付けられました。

正のリテラルが1つだけあるホーン節は確定節であり、負のリテラルがない確定節は「事実」と呼ばれることがあり、正のリテラルがないホーン節はゴール節と呼ばれることがあります。これら3種類のホーン節を、次の命題の例で説明します。

♪♪¬ p ∨ ¬ q ∨ ⋯ ∨ ∨ ¬ t ∨ u $\neg p\lor \neg q\vee \cdots \vee \neg t\vee u$

fact: u {displaystyle u}. $u$

♪♪♪ ¬ p ∨ ¬ q ∨ ⋯ ∨ ¬ t { {\displaystyle ♪ ♪ ♪ p\lor ♪ ♪ ♪ q ♪vee ♪ ♪ ♪cdots ♪ ♪ ♪ vee ♪ ♪ t} ♪ $\neg p\lor \neg q\vee \cdots \vee \neg t$

非命題の場合、節内のすべての変数は、暗黙的に普遍的に、節全体をスコープとして定量化されます。したがって、例えば

の略です。

∀ (¬人間( X )∨死人( X ) ) )♪displaystyle ≪pos(310,000)blue≫ ≪pos(310,000)blue≫ ≪pos(310,000)blue≫ ≪pos(310,000)blue≫ $\forall X(\neg {\text{human}}(X)\lor {\text{mortal}}(X))$

と論理的に等価です。

∀ X ( human ( X ) → mortal ( X ) ) .♪♪display style ≪(表示スタイル)≫ ♪forall X({pos(100,000)}(X)右矢印 {pos(100,000)}(X).} $\forall X({\text{human}}(X)\rightarrow {\text{mortal}}(X)).$

ホーン節は構成論理学や計算論理学において基本的な役割を果たしている。2つのホーン節の解離子はそれ自体がホーン節であり、ゴール節と確定節の解離子はゴール節であるため、1次解離による定理証明の自動化において重要である。このようなHorn節の性質を利用することで、定理証明の効率化を図ることができる（ゴール節の否定として表現される）。

ホーン句は論理プログラミングの基本でもあり、定型句を暗示の形で書くのが一般的です。

( p ∧ q ∧ ∧ ⋯ ∧ t ) → u {\display style (p\wedge q\wedge \cdots \wedge t) ♪♪} $(p\wedge q\wedge \cdots \wedge t)\rightarrow u$

実際には、確定節でゴール節を解決して新しいゴール節を生成することが、論理型プログラミングやプログラミング言語Prologの実装に用いられるSLDの解決推論ルールの基本となっています。

論理プログラミングでは、定義節は目標削減手続きとして動作します。例えば、上に書いたHorn節は手続きとして動作します。

to show u {\displaystyle u $u$ } , show p {\displaystyle p} $p$ and show q {\displaystyle q} and ⋯ {\displaystyle ｺﾞﾂ } ♪♪ $\cdots$ and show t {displaystyle t} . $t$

この節の後ろ向きの使い方を強調するために、後ろ向きの形で書かれることが多いです。

u ← ( p ∧ q ∧ ∧ ⋯ ∧ t ) {\display style u\leftarrow (p\land qland \cdots ™ T)} }。 $u\leftarrow (p\land q\land \cdots \land t)$

Prologでは、これは次のように書かれています。

u :- p, q, ..., t.

Prologの表記法は実は曖昧で、「ゴール節」という言葉も曖昧に使われることがあります。ゴール節の変数は、普遍的または実存的に定量化されたものとして読むことができ、"false"を導出することは、矛盾を導出するか、解決すべき問題の成功解を導出するかのどちらかとして解釈することができます。

Van Emden and Kowalski (1976)は、論理プログラムの文脈でHorn節のモデル理論的性質を研究し、定義節の集合Dのすべてが一意の最小モデルMを持つことを示した。原子式Aは、AがMの中で真である場合に限り、論理的にDによって暗黙の了解を得ることができる。

命題ホーン節は計算複雑度の分野でも注目されています。命題ホーン節の連結を真にするための真理値の代入を見つける問題は、P完全問題（実際には線形時間で解くことが可能）であり、HORNSATと呼ばれることもあります（ただし、無制限のブーリアン充足性問題はNP完全問題です）。(ただし、制限のないブール語の充足性問題はNP完全問題である)。一次ホーン節の充足性は決定不可能である。

質問と回答

Q:ホーン節とは何ですか?

A: ホーン節はリテラルの論理和で、リテラルのうち最大1つが正で他はすべて負である。

Q:誰が最初に記述したのですか?

A:アルフレッド・ホーンが1951年の論文で初めて説明した．

Q:定冠詞節とは何ですか?

A:正のリテラルを1つだけ持つホーン節は定冠詞節と呼ばれる．

Q: 事実とは何ですか?

A: 負のリテラルを持たない定冠詞節は「ファクト」と呼ばれることがある。

Q: ゴール節とは何ですか?

A: 正のリテラルを持たないホーン節はゴール節と呼ばれることがある。

Q:非命題格の変数はどのように働くのですか?

A:非命題型の場合、節の中のすべての変数は、節全体をスコープとする暗黙の普遍的な量化されたものである。つまり、文のすべての部分に適用される。

Q:構成的論理学や計算論理学において、ホーン節はどのような役割を担っているのでしょうか?A:ホーン節は一階解決による自動定理証明において重要な役割を果たす。なぜなら、2つのホーン節、あるいは1つのゴール節と1つの確定節の間の解決剤を用いることにより、ゴール節の否定として表されるものを証明する際に、より効率的な証明方法を生み出すことができるからである。また、Prologのような論理型言語の基礎としても用いられ、ゴール削減手続きのような振る舞いをする。