数学における区間の定義と表記法｜開区間・閉区間の例と説明
区間の定義と表記法を図解でわかりやすく解説。開区間・閉区間の違いと具体例、書き方や判定のコツまで初心者向けに丁寧に説明。
数学では、区間とはある始点と終点の間にあるすべての実数の集合を指します。区間に含まれるかどうかは端点（始点・終点）を含むかどうかで決まり、端点を含む場合を閉区間、含まない場合を開区間と呼びます。たとえば「3.3から15まで」という表現は文脈によって異なりますが、記号で表すと次のように区別できます。
区間の主な表記と意味
- [a, b]：閉区間。a ≤ x ≤ b を満たすすべての実数 x を含む（端点 a, b を含む）。
- (a, b)：開区間。a < x < b を満たす実数 x を含む（端点 a, b を含まない）。
- [a, b)：左閉右開（半開区間）。a ≤ x < b を満たす実数 x を含む（左端は含み右端は含まない）。
- (a, b]：左開右閉（半開区間）。a < x ≤ b を満たす実数 x を含む（左端は含まず右端は含む）。
- [a, a] は {a}（単一の点）を表し、(a, a) は空集合（要素がない）になります。
- 無限を端点に含める場合：(-∞, b), [a, ∞) など。〈-∞〉や〈∞〉は端点として含むことはできないので、常に丸括弧で表します。
表記と不等式の対応
区間記号は不等式と対応します。たとえば：
- (a, b) は a < x < b と同値。
- [a, b] は a ≤ x ≤ b と同値。
- [a, b) は a ≤ x < b、(a, b] は a < x ≤ b。
具体例と判定
例として区間を (3.3, 15) とすると、次のようになります。
- この区間に含まれる数：4、8、9.5、14、14.999 など（3.3 より大きく 15 より小さい数）。
- この区間に含まれない数：3.3（端点は含まれない）、15（端点は含まれない）、2、3.2、20、15.000001 など。
一方、[3.3, 15] なら 3.3 と 15 も含まれます。
よく使われる例
- (4, 9.6)：4 より大きく 9.6 より小さい実数すべて。
- [-100, 100]：-100 以上 100 以下のすべての実数。
- [-30, -4]：-30 以上 -4 以下のすべての実数。
- (-∞, ∞) は実数全体を表し、記号では R（全体集合）と同じ意味です。
補足
区間は実数直線上の連続的な部分集合を表す基本的な概念で、解析、微分積分、確率論など多くの分野で頻繁に使われます。集合演算としての和集合・交差も自然に考えられ、たとえば二つの区間の交わりは別の区間（または空集合）になることがあります。
異なる種類のインターバル
インターバルは、その端でどのように作用するかで分けることができます。区間には、閉じたもの、開いたもの、混ざったものがあります。
クローズドインターバル
閉じた区間は、始まりと終わりも含む。3を始点とし、5.4を終点とする閉区間は、3、5.4、および3から5.4までのすべての数を含むことになる。閉区間を書くには、角括弧（ [ と ] ）を使用します。閉区間の例として、[136, 450]がある。
オープン・インターバル
開いている区間は、始まりも終わりも含まない。3を始点とし5を終点とする開区間は、3から5までのすべての数を含むが、3または5を含まないことになる。開区間を書くには、括弧（（と））を使用する。開区間は、(2, 5)が例である。
ミックス・インターバル
混合区間は、一端が開いていて、もう一端が閉じている。これは、その区間が始点を含むが終点を含まないか、または終点を含むが始点を含まないことを意味する。区間[9, 23]は9を含むが、23を含まない。
質問と回答
Q:数学でいう区間とは何ですか?
A: 数学における区間とは、始まりと終わりの間のすべての数を含む数のグループのことです。
Q: どの数が区間に含まれるかをどうやって決めるのですか?
A: 始まりの数より大きく終わりの数より小さい数は区間に含まれ、始まりの数より小さく終わりの数より大きい数は区間に含まれません。
Q: 開始番号と終了番号の両方が区間に含まれていなければならないのですか?
A: 開始番号と終了番号は、区間内に含まれていてもいなくてもかまいません。
Q: 区間はどのように書くのですか?
A: 区間を書くには、角括弧( [ )または括弧( ))を書き、開始番号を書き、カンマ( , )を書き、終了番号を書き、閉じ角括弧( ] )または閉じ括弧( ))を書いてください。
Q:インターバルの例を教えてください。
A:区間の例としては、(4, 9.6), [-100, 100], [-30, -4]があります。
Q:区間内に負の数は許されますか?
A: はい、負の数は区間内に含めることができます。
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