光時計は

光時計は、特殊相対性理論の基本的な特徴を簡単に示す方法です。光時計は、遠くの鏡に光の閃光を跳ね返し、その戻りを利用して別の光の閃光を誘発し、その間に何回閃光が起こったかを数えることで動作するように設計されています。このような時計を持って頭上を飛ぶ宇宙船を地球上で見ている人は、時計が比較的ゆっくりと時を刻んでいるのを見ていることが容易にわかるでしょう。このような効果は、時間拡張と呼ばれています。

光時計を研究する前に、もう一つの相対性理論を考えてみましょう。大きな貨物ジェット機の機内で誰かがバスケットボールをドリブルしていると想像してみてください。バスケットボールの選手はジェット機と同じ方向に動いています。飛行機の中の他の人たちは，彼が１回のドリブルをするときに彼が１～２メートル動いているのを見ています．1回目にボールがバウンドしてから2回目にボールがバウンドするまでの間に、約1秒が経過しています。しかし、1回目のバウンドが起こった時にはバスケットボールはジブラルタルの上にあり、2回目のバウンドが起こった時にはバスケットボールはスペインに近い海の上にあった。つまり、バスケットボールは地球に対して280メートル移動したことになります。

ここで、相対運動のやや似たような問題を考えてみよう。今回は北極から星を見ている人たちが、非常に速い宇宙船が彼らの上を飛んでいくときに何を見るかを考えてみましょう。代数とピタゴラスの定理を使って、宇宙船の上をどれだけ時間が遅くなるかを計算することができます。他に必要なものは、距離、d、移動速度、r、時間、tを関連付ける方程式だけである。

d = rt

光の速さは一定なので、この値を2つの問題に当てはめてみましょう。光の速さは科学者が通常名前をつけるときに使う文字なので、これをcと呼ぶことにします。

時計は、長いポールの下の方に光出力、ポールの上に鏡、ポールの下の方に電子光検出器を置いて作られています。クロックは、簡単にそれがポールの底部に戻って反射されるポールの上部にポールの底部から光の1つの点滅を送信するスイッチを閉じることによって開始されます。ポールの下部にある光検出器が光の瞬きを見たとき、それは2つのことを行います。それはそれに接続されているカウンターに1つを追加し、それは鏡に光の別の点滅を発射します。その瞬きの光が底に戻ってくると、カウントが2つに変わり、別の瞬きの光が発射されます。光の移動速度は非常に速いので（毎秒30万キロ）、普通の時計では1秒を計測するごとに、光時計は非常に多くの回数を「カチカチ」と鳴らすことになります。

計算を簡単にするために、北極の長さは1.5kmだとしましょう。ですから、もし私たちが北極にある大きな望遠鏡の隣にある光時計のそばに立っていると、光は光時計の「刻み」ごとに１ｋｍ移動することがわかります。移動距離 d は速度に時間をかけたものであり、速度は c であるから、次の式が成り立つ。

d = ct

この式をtのために解くことで、各「刻み」が秒単位でどのくらいの長さかを知ることができます。

1km = 30万km/秒 * t秒

t秒＝1km/30万（km/秒）＝1/30万秒＝0.00000333...3秒

つまり、光時計の「刻み」1回に0.00000333...3秒かかります。

もし宇宙船が光の速度のかなりの割合で北極の上を通過する直線上を飛んでいて、同じような時計を持っていたとしたら、その通過を見ている人々は、北極の上にある鏡が発光する光の真上から移動してきたことを見るでしょう。地球上の人々によると、１ティックがどのくらいの時間を要するかがわかります。宇宙船のポールの長さがaであることは、人々が北極で使用しているのと同じ種類の時計であることを知っています。私たちは、宇宙船の時計を一周するのにかかる時間t'を求めたいと思います。

私たちは、光の瞬きがミラーに向かって上に向かっている間、宇宙船は 1/2 r t' を移動し、光の瞬きがポールの基部に向かって下に向かっている間、別の 1/2 r t' を移動することを知っています。それで、その計算は、チャートの線bの長さを与えてくれます。私たちはaを知っているので、ピタゴラスの定理によってhを求めることができます。

ｈ＝√（ａ^２＋（ｒｔ'／２）２）^{２である。}

したがって、光の移動距離の合計は2 hまたはd = 2 √(a² + (rt'/2)2)²となります。

また、光の速度cは一定であることも知っています。誰がそれを測定しても、同じ速度であることがわかります。ですから、私たちはその事実を使って、光の閃光がポールの根元からポールの上端まで行って、また戻ってくるまでの時間を計算する別の方法を得ることができます。

t' = d/c

つまり、d = c t' .

ということで、以下のように書くことができます。

c t' = 2 √(a² + (rt'/2)2)²

或いは

1/2 c t' = √(a² + (rt'/2)2)²

上記の方程式を解くためには

1. 両側を四角くする
2. 両辺をt' ²で割る
3. 両辺を4で割る
4. 両辺をc²で割る
5. c² / c^2を簡略化する
6. 両辺からr²/c^2を引く
7. 両側の平方根を取る
8. 両辺にt'を掛ける
9. 両辺を√(1-r²/c²)で割る。

上の式を解くと、次のようになります。

ｔ'＝２ａ／（ｃ√（１-ｒ^２／ｃ^２））である。

北極点の時計の刻みの間の時間は2a/cなので、こう書けばいいのです。

ｔ'＝ｔ／√(１-ｒ^２／ｃ^２)

t=1秒とすると、宇宙船が光の1/2の速度で移動しているとすると、t'=1.1547秒となります。

http://www.1728.org/reltivty.htm で様々な移動速度の実験をしてみましょう。

質問と回答

Q:ライトベルとは何ですか?

Q:時間拡張とは何ですか?

Q:宇宙船の中でどれだけ時間が遅くなるかを計算するにはどうしたらいいのでしょうか?

Q:光時計の仕組みは?

Q:この計算にはどんな方程式が必要ですか?

Q. この計算とピタゴラスの定理はどのように関係しているのでしょうか?

文字で検索