特殊相対性理論

特殊相対性理論（または特殊相対性理論）とは、1905年にアルバート・アインシュタインによって開発・説明された物理学の理論である。これは、重力が重要ではない限り、すべての物理現象に適用されます。特殊相対性理論は、ミンコフスキー空間、つまり「平坦な時空」（重力の影響を受けない現象）に適用される。

アインシュタインは、いくつかの弱点は、古い物理学で発見されていたことを知っていた。たとえば、古い物理学では、光は発光性エーテルで移動したと考えられていた。この理論が本当だった場合は、さまざまな小さな効果が期待されていた。徐々に、これらの予測がうまくいくようにしていないようだった。

やがて、アインシュタイン（1905年）は、空間と時間の概念を根本的に見直す必要があるという結論を導き出しました。その結果、「光速の恒常性」という新しい原理と、それまでに確立されていた「相対性原理」を融合させた特殊相対性理論が誕生したのです。

ガリレオはすでに相対性理論の原理を確立していましたが、これは、物理的な出来事はすべての観測者にとって同じように見えなければならないというもので、物理学で研究されているものの「正しい」見方はどの観測者も持っていないというものでした。例えば、地球は太陽の周りを非常に速く動いていますが、私たちは地球と同じ速度で動いているので気づかない、つまり私たちから見れば地球は静止しているのです。しかし、ガリレオの数学では、光の速さなどの説明ができないことがありました。彼によれば、測定された光の速度は、その源と比較して、観測者の速度の違いによって異なるはずである。しかし、マイケルソンモーリー実験は、これは真実ではないことを示した、少なくともすべてのケースではない。アインシュタインの特殊相対性理論は、とりわけこれを説明した。

特殊相対性理論の基礎

自分に向かってくる何かに向かって移動しているとしましょう。その速度を測ってみると、あなたが動いていないときよりも速く動いているように見えます。今度は、あなたに向かって移動している何かから離れて移動しているとしましょう。もう一度その速度を測ってみると、よりゆっくりと動いているように見えます。これが「相対速度」という考え方です。

アルバート・アインシュタインの前に、科学者たちは光の「相対速度」を測定しようとしていました。彼らはこれを地球に到達する星の光の速度を測定することによって行っていた。彼らは、地球が星に向かって移動していた場合、その星からの光は、地球がその星から離れて移動していた場合よりも速く見えるはずだと予想していました。しかし、誰が実験をしても、どこで実験をしても、どんな星の光を使っても、真空中で測定した光の速度はいつも同じであることに気がつきました。

アインシュタインは、このようなことが起こるのは、長さと持続時間、つまり何かがどれくらい長く続くかについて、何か予期しないものがあるからだと言いました。彼は、地球が宇宙空間を移動すると、すべての測定可能な持続時間は非常にわずかに変化すると考えました。持続時間を測定するために使用される時計は、光の速度が同じままであるように、正確に正しい量だけ間違っていることになります。光時計」を想像することで、単一の光波の場合のこの驚くべき事実をよりよく理解することができます。

また、アインシュタインは、地球が宇宙空間を移動すると、すべての測定可能な長さは（これまでにわずかに）変化すると述べた。長さを測定するどんな装置でも、光の速度が変わらないように、正確に正しい量だけ長さがずれます。

一番わかりにくいのは、1コマで同時進行しているように見える出来事が、別のコマでは同時進行していない可能性があるということです。これは、知覚したり理解したりするのが容易ではない多くの効果を持っています。物体の長さは、ある瞬間の頭から尻尾までの距離であるから、もし二人の観察者が何の事象が同時であるかについて意見が異なる場合、それは物体の長さの測定値に（時には劇的に）影響を与えることになる。さらに、ある時計の列が静止している観察者には同期して見え、ある速度まで加速した後、同じ観察者には同期していないように見える場合、加速の間、時計は異なる速度で走っていたことになります。いくつかは逆走しているかもしれません。この推論は、一般相対性理論につながります。

アインシュタインの前に他の科学者は、光がどのように観測されたかに関係なく、同じ速度を行くように見えるについて書いていた。アインシュタインの理論が画期的だったのは、光の速度の測定が定義によって一定であると考えていること、言い換えれば自然界の法則であるということです。このことは、速度に関連する測定値、長さや持続時間が、これに対応するために変化するという驚くべき意味合いを持っています。

ローレンツ変換

特殊相対性理論の数学的基盤は、ローレンツ変換であり、これは、互いに相対的に移動しているが加速度を経験していない2人の観測者の空間と時間の見方を数学的に記述したものである。

変形を定義するために、我々はデカルト座標系を用いて「事象」の時間と空間を数学的に記述する。

各オブザーバーは、座標（x,y,z,t）を用いて、ある時間における空間上の何かの位置としてイベントを記述することができます。

イベントの位置は、(3,3,3,3)が各方向に3単位の距離（メートルやマイルのような）の対角線になるように、任意の中心(0,0,0)との関係で最初の3つの座標（x,y,z）で定義されています。

その事象の時間を、何らかの時間単位（秒や時間や年など）での任意の（０）点との関係で第４の座標ｔで記述する。

時間座標tで事象が発生するときを記述し、空間座標x,y,zで事象が発生する場所を記述する観測者Kが存在するとしよう。

ある事象の時間は、それが観測された時間 t_{(観測された)から}観測者に到達するまでにかかった時間を差し引いた時間で与えられるとしましょう：t_{(観測された)が観測}された時間(例えば、今日の12時)で与えられます。

これは、観測者からイベントまでの距離d_{(観測された})（イベントが1光年離れた星の上にあるとすると、観測者に到達するまでに1年かかります）を光の速度c（時速数百万マイル）で割ったものとして計算することができ、これはすべての観測者にとって同じであると定義します。

これは、距離を速度で割ったものが、その速度でその距離を移動するのにかかる時間を与えるので、正しいです（例えば、30マイルを時速10マイルで割ったもの：時速10マイルで3時間移動した場合、30マイルに到達するので、3時間を与えてください）。ということで、次のようになります。

t = d / c {displaystyle t=d/c} $t=d/c$

これは、任意の「時間」が任意の観察者にとって何を意味するのかを数学的に定義しています。

ここで、これらの定義を元にして、次のような別の観測者K'がいるとします。

K の x 軸に沿って v の速度で移動します。
は x' , y' , z' の空間座標系を持つ．

ここで、x'軸はx軸と一致しており、y'軸とz'軸と一致している-y軸とz軸に対して「常に平行である」。

つまり、K'が(3,1,2)のような場所を与えたとき、x(この例では3)はK、最初の観察者が話しているであろう場所と同じであるが、y軸の1やz軸の2はK'の観察者の座標系上のどこかの場所と平行になっているだけであり

ここで、ＫとＫ'は、ｔ＝ｔ'＝０で一致している。

これは、座標（0,0,0,0）が両方の観測者にとって同じ事象であることを意味する。

言い換えれば、両方の観測者が（少なくとも）合意した一つの時間と場所、つまり場所と時間ゼロを持っているということです。

その後のローレンツ変換は

t′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{1-v^{2}/c^{2}}}} $t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {displaystyle x'=(x-vt)/{1-v^{2}/c^{2}}}} $x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

y ′ = y {displaystyle y'=y} Ｙ ′ = y $y'=y$ であり

z ′ = z {displaystyle z'=z} . $z'=z$

系Sの時空座標(t,x,y,z)と、その系Sに対して速度vで移動する参照フレームの中の(t′,x′,y′,z′)を持つ事象をS′と定義する。そして、ローレンツ変換は、これらの座標が次のように関係していることを規定する：はローレンツ係数であり、ｃは真空中の光速であり、Ｓ′の速度ｖはｘ軸に平行である。簡単のために，yとz座標は影響を受けず，xとt座標だけが変換される。これらのローレンツ変換は1つのパラメータの線形写像群を形成し，そのパラメータはラピディティと呼ばれている．

上記の4つの変換方程式を無原座標に解くと、逆ローレンツ変換が得られます。

t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ .{\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}$

この逆ローレンツ変換をプライミングされた系からプライミングされていない系へのローレンツ変換と一致させると、プライミングされていない系はプライミングされた系で測定されたように速度v′ = -vで移動していることがわかります。

x軸については何も特別なことはありません。変換は、y軸やz軸、実際にはどの方向にも適用でき、運動に平行な方向（γ因子によって歪んでいる）と垂直な方向によって行うことができます。

ローレンツ変換の下で不変な量は、ローレンツスカラーとして知られています。

ローレンツ変換とその逆を座標差の観点から書くと，ある事象は座標(x₁, t₁)と(x′₁, t′₁)を持ち，別の事象は座標(x₂, t₂)と(x′2, t′₂)を持ち，その差は次のように定義される。

Eq. 1: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ .♪displaystyle ﾃﾞﾙﾀ x'=x'_{2}-x'_{1} ,\ ﾃﾞﾙﾀ t'=t'_{2}-t'_{1} .} $\Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ ,\ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ .$

Eq. 2: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 .♪displaystyle ﾃﾞﾙﾀ x=x_{2}-x_{1} ,\ ﾃﾞﾙﾀ t=t_{2}-t_{1} .} $\Delta x=x_{2}-x_{1}\ ,\ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ .$

貰える

Eq. 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , Eq. 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , Eq. $\Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \$ ♪♪ ♪ ♪♪ ♪♪ ♪♪♪♪ ♪♪ ♪♪ ♪♪} $\Delta t'=\gamma \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ .$

Eq. 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , Eq. 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , Eq. 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , Eq. 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) ,Eq. $\Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\$ Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) .♪♪displaystyle ≪Spotograph≫ ≪Spotograph≫ ≪Spotograph≫ ≪Spotograph≫ ≪Spotograph≫ ≪Spotograph≫ ≪Spotograph≫ ≪Spotograph≫ ≪Spotograph≫ ≪Spotograph≫ ≪Spotograph≫ ≪Spotograph≫ ≪Spotograph≫ ≪Spotograph≫} $\Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ .$

差分を取るのではなく差分を取ると

Eq. 5: d x ′ = γ ( d x - v d d t ) , $dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \$ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪♪♪ ♪♪ ♪♪ ♪♪} $dt'=\gamma \ \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\ .$

Eq. 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) ,"Eq. 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) ,"Eq. 6: $dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\$ d x = γ ( d x ′ + v d x ′ / c 2 ) .♪♪displaystyle dt=\_themma ♪♪ ♪♪ ♪♪ ♪♪} $dt=\gamma \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ .$

質量・エネルギー・運動量

特殊相対性理論では物体の運動量p $p$ と全エネルギーの質量mの関数としての物体 $E$ の

p = m v 1 - v 2 c 2 {\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} $p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

そして

E = m c c 2 1 - v 2 c 2 {displaystyle E={mc^{2}}{sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} $E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ .

よくある間違い（本にも書いてある）は、相対論的な質量（運動方向）を使って、この式を書き換えることです。 $m_{r}={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ .これが正しくない理由は、光は、例えば、質量を持っていないが、エネルギーを持っているということです。この式を使うと、光子（光の粒子）は質量を持っていることになりますが、これは実験によると正しくありません。

特殊相対性理論では、物体の質量、全エネルギー、運動量は次の式で表されます。

E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 {displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}} {displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}。 $E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$ .

安静時の物体については、p = 0 {\displaystyle p=0}だ $p=0$ から、上の式は、E = m c c 2 {\displaystyle E=mc^{2}}と単純化される。 $E=mc^{2}$ .したがって、静止している巨大な物体は、まだエネルギーを持っている。この安静時のエネルギーをE 0 {displaystyle E_{0}} $E_{0}$ と呼ぶ。

E 0 = m c 2 {displaystyle E_{0}=mc^{2}}}。 $E_{0}=mc^{2}$ .

歴史

特殊相対性理論の必要性は、1865年に発表されたマクスウェルの電磁気学の方程式から生まれました。後に、電磁波（光など）が一定の速度（つまり光の速度）で移動するように呼びかけていることが判明した。

ジェームズ・クラーク・マクスウェルの方程式が天文観測^[1]とニュートン物理学^[2]の両方と一致するように、マクスウェルは1877年に、光が宇宙のあらゆる場所に存在するエーテルを通過することを提案した。

1887年、地球の運動によって発生する「エーテル風」を検出しようとした有名なマイケルソン・モーリー実験[3]が行われた。^{3] この実験の結果は}、物理学者を困惑させ、エーテル理論を疑問視させた。

1895年、ローレンツとフィッツジェラルドは、マイケルソン・モーリー実験のヌルの結果は、エーテルの風がエーテルの運動方向に実験を収縮させることで説明できることを指摘した。この効果はローレンツ収縮と呼ばれ、（エーテルがない場合）特殊相対性理論の帰結である。

1899年、ローレンツは最初にローレンツ方程式を発表した。発表されたのはこれが初めてではなかったが、ローレンツの収縮はそれらの結果であることから、マイケルソン・モーリーの帰無結果の説明に使われたのはこれが初めてであった。

1900年、ポアンカレは有名な演説を行い、マイケルソン・モーリーの実験を説明するためには何らかの「新しい物理学」が必要である可能性を考えた。

1904年、ローレンツは、ローレンツ変換によって電場と磁場が互いに変化することを示した。

1905年には、アインシュタインは、特殊相対性理論を導入する彼の記事を公開し、"移動体の電気力学"、Annalen der Physikで。この論文では、彼は相対性理論の定理を提示し、それらからローレンツ変換を導き、（ローレンツの1904年の論文を知らない）また、ローレンツ変換がどのように電場と磁場に影響を与えるかを示した。

その後、1905年には、アインシュタインは、E = mc^2を提示する別の記事を発表した。

1908年、マックス・プランクはアインシュタインの理論を支持し、「相対性理論」と名付けた。同年、ヘルマン・ミンコフスキーは「宇宙と時間」に関する有名な講演を行い、相対性理論が自己矛盾しないことを示し、理論をさらに発展させた。これらの出来事により、物理学界は相対性理論を真剣に考えるようになりました。その後、相対性理論はますます受け入れられるようになりました。

1912年、アインシュタインとローレンツは、相対性理論の先駆的な研究により、ノーベル物理学賞にノミネートされました。残念なことに、相対性理論は当時非常に議論を呼んでいましたが、ノーベル賞が授与されることはありませんでした。

実験的な確認

光の進行方向から光の速度の違いを検出できなかったマイケルソン・モーリー実験。
動いている水の中の光の屈折率を1以下にすることができないというフィゾーの実験。観測された結果は、速度を加える相対論的なルールで説明されています。
光のエネルギーと運動量は、E = p c {displaystyle E=pc $E=pc$ }の方程式に従う。(ニュートン物理学では、E = 1 2 p c {displaystyle E={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}}\end{matrix}}pc $E={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}pc$ }となると予想される。
横方向ドップラー効果とは、素早く動く物体が発する光が時間的な拡張によって赤方にシフトする現象です。
地球表面の上層大気で作られたミュオンの存在。問題は、ほぼ光速であっても、ミューオンが地表に降りてくるまでに半減期よりもはるかに長い時間がかかるということです。ミューオンの存在は、（我々の見解では）時間の拡張によるものか、（ミューオンの見解では）地表までの距離の長さの収縮によるものかのどちらかであると考えられています。
相対論的物理学を考慮しないと素粒子加速器は作れない。

質問と回答

Q:特殊相対性理論とは何ですか?

A:特殊相対性理論（とくしゅそうたいろん）とは、1905年にアルベルト・アインシュタインによって開発・説明された物理学の理論である。重力が重要でない限り、すべての物理現象に適用されます。特殊相対性理論は、ミンコフスキー空間、つまり「平坦な時空」（重力の影響を受けない現象）に適用されます。

Q:古い物理学にはどのような弱点があったのでしょうか?

A: 古い物理学では、光は発光するエーテルの中を動くと考えられており、この理論が本当であれば、さまざまな小さな効果が期待されました。徐々に、これらの予測はうまくいかないと思われるようになった。

Q: アインシュタインはどのような結論を出したのか?

A:アインシュタインは、空間と時間の概念を根本的に見直す必要があるという結論を出し、その結果、特殊相対性理論が生まれた。

Q:ガリレオの相対性原理とは何だったのか?

A: ガリレオの相対性原理は、物理的な事象はすべての観測者にとって同じように見えるはずであり、物理学が研究するものに対して「正しい」見方をする観測者はいない、というものです。例えば、地球は太陽の周りを非常に速く動いていますが、私たちは地球と同じ速度で動いているのでそれに気づかず、私たちから見れば地球は静止していることになるのです。

Q: ガリレオの数学は、ある事柄をどのように説明できなかったのでしょうか?

A:ガリレオの数学では、光源に対して観測者の速度が異なると、測定される光の速度が異なるはずだが、これはマイケルソンモーリーの実験によって否定された。

Q: アインシュタインはこの現象をどのように説明したのですか?

A:アインシュタインの特殊相対性理論では、「光速の不変性」という新しい原理と、それまで確立されていた「相対性の原理」を組み合わせて、この現象を説明しました。