モンティ・ホール問題の解説：なぜ扉を替えると当選確率が2/3になるのか

モンティ・ホール問題を図解と具体例でわかりやすく解説。なぜ扉を替えると当選確率が2/3になるのかを直感で納得できる！

モンティ・ホール問題は、確率（チャンス）の有名な問題です。この問題は、アメリカのテレビゲーム番組「Let's Make a Deal」に基づいています。この番組のモンティ・ホールにちなんで名付けられました。

以下では、直感と数学の両面から「なぜ扉を替えると当選確率が2/3になるのか」をわかりやすく説明します。基本のルールは次のとおりです。

• 扉は3つあり、1つの扉の後ろに車（高価な景品）、残り2つの後ろにヤギ（ハズレ）がある。
• プレイヤーがまず1つの扉を選ぶが開けない。
• ホスト（中身を知っている）は、プレイヤーが選んだ扉ではない扉のうち、ヤギの扉を1つ開ける（常にヤギの扉を開けること、かつ開けた扉は見せる）。
• その後、プレイヤーは「最初に選んだ扉をそのままにする」か「残ったもう1つの閉じた扉に替える（スイッチする）」かを選べる。

直感的な説明（場合分け）

プレイヤーが最初に選ぶ扉が次のどれかに当たる確率は、均等に1/3ずつです。場合分けして考えると分かりやすいです。

• ケースA（確率1/3）：最初に車の扉を選んだ。ホストは残り2つのヤギ扉のどちらかを開ける。ここでスイッチするとヤギになる（負け）。
• ケースB（確率1/3）：最初にヤギの扉（ヤギその1）を選んだ。ホストは残りのヤギではなく、もう一方のヤギが見える可能性はないので、残る車の扉は「開けない方の閉じた扉」になる。スイッチすれば車を得る（勝ち）。
• ケースC（確率1/3）：最初にもう一方のヤギの扉（ヤギその2）を選んだ。ホストは残りのヤギを開け、スイッチすれば車を得る（勝ち）。

このように、最初にヤギを選ぶケース（BとC、合計確率2/3）ではスイッチすると車を手に入れ、最初に車を選ぶケース（A、確率1/3）ではスイッチすると負けます。したがって「スイッチすると勝つ確率は2/3、スイッチしない（最初の選択のまま）と勝つ確率は1/3」と結論づけられます。

もう少し厳密に（条件付き確率の観点）

ホストが必ずヤギの扉を開けるという情報が重要です。ホストの行動が情報を与えているため、残った2つの閉じた扉の確率は均等ではありません。開けられた扉がヤギであることはすでに確定しており、それを踏まえた上で「残りの閉じた扉に車がある確率」を計算すると、元の選択の扉が車である確率は依然として1/3、もう一方の閉じた扉が車である確率は2/3になります。これはベイズの定理で形式的にも示せますが、上の「場合分け」の議論が同じ結果を直感的に与えます。

よくある誤解

• 「開かれていない2つの扉は対等に1/2ずつだ」は誤りです。開ける前の一回目の選択の情報とホストがヤギを開けるというルールがあるため、確率は偏ります。
• ホストが中身を知らずランダムに開ける場合（誤って車を開けることがある）や、ホストが意図的に戦略を変える場合は確率計算が変わります。ここでの結論は「ホストは常にヤギの扉を開け、かつスイッチの選択肢をいつも与える」ことが前提です。

一般化

ドアが3つではなくn個ある場合、プレイヤーが1つを選び、ホストがプレイヤーが選んだ扉以外のn−2個のヤギ扉を開けて1つだけ閉じた扉を残すとします。このときスイッチすれば勝つ確率は（n−1）/nになります。nが大きいほどスイッチの有利さは明白になります（例：100扉ならスイッチで勝つ確率は99/100）。

実験（シミュレーション）の考え方

この問題は実際に何回も試行すれば確かめられます。数百回〜数千回の試行で「常にスイッチする」戦略は約2/3の確率で勝ち、「常にスイッチしない」戦略は約1/3の確率で勝つことが観察できます。直感に反しても、反復実験は数学的結論を補強してくれます。

結論：ホストが必ずヤギの扉を開けるという前提の下では、最初に選んだ扉を変更してスイッチすることで当選確率は1/3 → 2/3に上がります。したがって、合理的には「スイッチすべき」問題です。

質問と回答

Q:モンティ・ホール問題とは何ですか?

Q. プレゼンターは何を知っているのか?

Q:選択肢を変えると、クルマが手に入る確率は上がるのでしょうか?

Q:この確率はどのように働くのですか?

Q:スイッチングをすると3回に2回は当選確率が上がるというのは本当ですか?

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