ベルヌーイの原理とは｜流体力学で学ぶ速度と圧力の関係

ベルヌーイの原理を図解でやさしく解説。流体力学における速度と圧力の関係、公式の導出・応用例、粘性や圧縮性の注意点まで丁寧に紹介。

ベルヌーイの原理とは、流体力学の考え方です。流体の速度が速くなると圧力が下がるというものです。右の写真は、このようなことが起こっていることを示しています。管の広い部分の空気は、細い部分よりも静圧が高くなっています。安定した流れのためには、管に入る流体の量と管から出る流体の量が同じでなければならないので、細い部分の流体の速度が速くならなければなりません。

ある領域に力が作用することを「圧力」といいます。圧力が高いほど、流体は圧力の低い方へ押し出されます（加速されます）。したがって、流体の速度の変化は、圧力（力）の変化と一致しなければなりません。ベルヌイは、管の小さい部分では流体がより速く動く一方で、圧力は小さくなることを見ていました。これは、単一の流れの経路に沿った速度と圧力の変化を指しており、異なる速度の2つの異なる流れには適用されないことに注意してください。

ベルヌイの原理の完全版には、圧力による仕事と、高さの変化によるポテンシャルエネルギーの変化の両方が含まれています。この形式では、原理は、圧力、運動エネルギー、および潜在的エネルギーの合計が一定であると言います。(ベルヌイは粘性や圧縮性を考慮していない)。

ベルヌーイの式（簡潔な表現）

不可圧縮で粘性を無視できる定常流れ（同じ流線に沿う場合）に対して、ベルヌーイの式は次のように表されます：

p + 1/2 ρ v² + ρ g h = 一定

ここで、p は静圧、ρ は流体密度、v は速度、g は重力加速度、h は基準面からの高さ（位置エネルギー）です。各項は単位体積あたりのエネルギーに相当します。

用語の説明（静圧・動圧・全圧）

• 静圧（p）：流体に働く通常の圧力。静止したときに測れる圧力に相当します。
• 動圧（1/2 ρ v²）：運動エネルギーに相当する項で、速度が上がるほど大きくなります。
• 全圧（停泊圧／スタグネーション圧）：静圧と動圧（+高さの項）を合わせたもので、流体を静止させるときに得られる圧力に相当します。

主な仮定と適用範囲

• 流れは定常（時間的に変化しない）であること。
• 流体は非粘性（粘性の効果を無視できる）、かつ不可圧縮であること（液体など）。
• 式は一般に1本の流線に沿って成り立ちます。異なる流線間での比較や乱流・混合流には注意が必要です。
• 高さの差が無視できる場合は、ρ g h の項を省いて p + 1/2 ρ v² = const とすることもできます。

実際の流体での制約と拡張

• 粘性（摩擦）がある場合は損失（ヘッド損失）を考慮し、ベルヌーイ式に損失項を加えます（p + 1/2ρv² + ρgh + 損失 = 定数）。
• 圧縮性の影響（高速の気体など）が重要な場合は、単純なベルヌーイ式は使えません。等エントロピー（断熱・可逆）過程を仮定すると、停滞エンタルピーや圧力・密度の関係を用いる拡張版が使われます。
• 非定常流（時間変化する流れ）や強い渦・乱流では、ベルヌーイの単純形は成り立たないことが多いです。

代表的な応用例

• ベントリ管（Venturi 効果）— 断面積を縮小すると速度が上がり圧力が下がる原理を流量計や噴射に利用。
• 飛行機の翼 — 翼上面の流速が速くなり上面圧が低くなることで揚力を生む（一要因で、揚力生成は形状や循環も関与）。
• ピトー管 — 流速を圧力差により測定する装置（全圧と静圧の差から速度を計算）。
• キャブレター、スプレー装置、吸引現象 — 低圧を利用して流体や粒子を吸引する。

簡単な計算例（イメージ）

断面積が異なる配管の広い側（断面A1）と狭い側（断面A2）で流量が一定（A1 v1 = A2 v2）とすると、狭い側の速度 v2 は大きくなります。ベルヌーイ式を用いれば、広い側と狭い側の圧力差を次のように求められます：

p1 + 1/2 ρ v1² = p2 + 1/2 ρ v2² → p1 − p2 = 1/2 ρ (v2² − v1²)

この考え方が、管内の圧力降下の理解や流量計算の基礎になります。

まとめ（ポイント）

• ベルヌーイの原理は流体のエネルギー保存則の一形態で、速度が上がれば静圧が下がるという直感的な関係を与えます。
• しかし、適用条件（定常・非粘性・不可圧縮・流線上）を満たしていることが重要です。
• 実際の設計や解析では、粘性損失や圧縮性の補正を加えた式を使うことが多く、安全側や実験での確認が必要です。

質問と回答

Q:ベルヌーイの原理とは何ですか?

Q: ベルヌーイの原理は、右の写真でどのように証明されていますか?

Q: 圧力とは何ですか?

Q: 流体の速度が変化するとどうなりますか?

Q: ベルヌーイの原理は、速度の異なる2つの流れに適用されるのでしょうか?

Q: ベルヌーイの原理の完全版には何が含まれているのですか?

Q: ベルヌーイの原理は何を考慮しないのですか?

文字で検索