ベルトランの仮説（ベルトラン＝チェビシェフの定理）

正確な主張と簡単な例

一般に用いられる定理の形は、次のとおりである。

• すべての整数 n > 1 に対して、n < p < 2n を満たす素数 p が存在する。

たとえば n=2 のとき、素数3は2と4の間にある。n=10 のとき、素数11は10と20の間にある。この主張が自明でないのは、連続する素数の間隔は数が大きくなるにつれて大きくなり得るためである。それにもかかわらず、この結果は区間 (n,2n) において長さ n 以上の素数間隔が生じることを禁じている。

歴史と展開

この予想は1845年にフランスの数学者ジョゼフ・ベルトランによって提案された。彼は約300万までのすべての数について、この主張を手計算で検証した。完全な証明は1850年にパフヌティ・チェビシェフによって与えられ、この結果はしばしばベルトラン＝チェビシェフの定理、あるいは単にチェビシェフの定理と呼ばれる。その後、数学者たちは別の証明や改良を与えた。インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンはより短い議論を見いだし、今日ラマヌジャン素数として知られる概念を定義するに至った。さらに1932年には、ポール・エルデシュが、特に初等的で簡潔な証明を発表した。

証明の考え方の概略

元の証明は解析的な評価を用いたが、いくつかの異なる方法により、この結果またはより強い形を導くことができる。

• チェビシェフの方法は、素数の分布を符号化する関数（チェビシェフ関数）に関する不等式を用い、階乗と素数冪について有効な評価を与えた。
• ラマヌジャンの証明は、チェビシェフの評価の一部を簡潔にし、(n,2n] に複数の素数があることを保証するために n がどれほど大きくなければならないかを数量化するラマヌジャン素数の定義に着想を与えた評価を導入した。
• エルデシュは、中心二項係数 C(2n,n) の性質と、素数が組合せ論的な数をどのように割るかについての評価に基づく短い初等的証明を与えた。この議論は複素解析を避け、背理法によって (n,2n) に素数が存在することを示す。

意義と帰結

ベルトランの仮説は、短い区間内に素数が存在することを単純かつ有効に保証するものであり、初等整数論や組合せ論の多くの議論に現れる。与えられた整数と同程度の大きさの素数の存在を必要とする証明において、足掛かりとなる。現代的な観点からは、19世紀末近くに証明された素数定理が、素数分布におけるはるかに強い規則性を含意する。素数定理によれば、大きな n に対して n 以下の素数はおよそ n/log n 個あり、したがって n と2nの間には多数の素数が存在する。それでもベルトランの仮説は、初等的証明と小さい場合の明示的な検証を備えた、具体的で非漸近的な主張を与える。

改良と一般化

より強い結果や関連概念は数多くある。たとえば研究により、十分大きな n に対して、より狭い部分区間内に素数があることを保証する明示的な評価が得られている。古典的な改良には長沼による結果と、その後の精密化が含まれる。ラマヌジャン素数の概念は、n と2nの間に少なくとも k 個の素数があるために n がどれほど大きくなければならないかを数量化する。ベルトランの仮説をめぐって発展した多くの初等的・解析的手法は、素数間隔と素数列の精細な構造を研究するうえで、現在も有益な道具であり続けている。

元の計算と証明についてさらに読むには、標準的な整数論の概説書や関係者の伝記を参照するとよい。ベルトラン、ラマヌジャン、エルデシュに関する資料は歴史的な視点を与え、素数分布の入門書では、初期の証明で用いられたチェビシェフの不等式とチェビシェフ関数が論じられている。