基数（基底）とは：進法の定義と10進法・8進法の具体例

基数（基底）とは何かをわかりやすく解説：進法の定義と10進法・8進法の具体例で基礎から応用まで学べる入門ガイド。

数学における基数（基底）とは、数を表すために用いる桁の数や、各桁で取り得る値の範囲を決める数のことです。別の言い方をすれば、ある進法で使える異なる記号（桁）の総数を指します。たとえば現在もっとも一般的に使われているのは10進法で、接頭辞のdec-は「10」を意味するので、0から9までの10種類の桁記号を用います。一般に人々が10進法を使う理由として「指が10本あるから」という説明がよく挙げられます。

位置表記法（位取り）の性質

多くの進法は位置表記法（positional numeral system）です。位置表記法では、桁の位置ごとに基底 b の冪乗に対する係数（桁の値）が置かれます。基底 b のとき、各桁は 0 から b−1 までの値を取り、右端の桁が b^0、その左が b^1、さらにその左が b^2 のように重み付けされます。一般に n 桁からなる数は次のように表されます： 数値 = Σ_{i=0}^{n-1} d_i × b^i （ただし d_i は各桁の値）

具体例：10進法と8進法

10進法（基底 b = 10）の場合、桁記号は 0,1,2,…,9 です。たとえば数 472 は 4×10^2 + 7×10^1 + 2×10^0 = 400 + 70 + 2 = 472 と計算できます。

8進法（基底 b = 8）の例を見てみます。8進法では桁記号は 0,1,2,…,7 です。たとえば「23」（8進表記）は次のように解釈します：

• 左の桁 2 は 8^1 の位置にあり、値は 2×8 = 16
• 右の桁 3 は 8^0 の位置にあり、値は 3×1 = 3
• 合計して 16 + 3 = 19（10進）となる

視覚的には 23_8 と書き、10進では 19_10 に相当します。

その他の基数と特殊な例

よく使われる他の基数には次のようなものがあります：

• 2進法（バイナリ、基底 2）：コンピュータ内部表現で使用。桁は 0,1。
• 8進法（オクタル、基底 8）：過去の計算機や特定の分野で使用。
• 16進法（ヘクサ、基底 16）：桁に 0–9 と A–F（10–15）を使う。プログラミングで頻出。
• 60進法（セクサジェシマル、基底 60）：古代メソポタミア起源で、角度（度・分・秒）や時刻の分秒にその名残が残る。

数学的には整数以外の基底や負の基底、さらには複素基底（例えば虚数単位を基にした表現）や非位取り式の表記法も研究されています。たとえば非整数基底（φ（黄金比）を基にした“φ進法”）や負基底（−2進法など）は理論的に定式化可能です。ただし実用上では、整数の正の基底が圧倒的に多く使われます。

表記上の注意

複数の進法を扱うときは、どの基底かを明示することが重要です（例：101_2 は 2進の 101、101_10 は10進の101）。16進などでは 0xFF やサフィックスで基底を示す慣習もあります。各基底で桁として使える記号の範囲に注意してください（10進を超える場合はアルファベットなどを用いるのが一般的です）。

質問と回答

Q:数学における基数や基数とは何ですか?

Q:なぜ10進法が最もよく使われるのですか?

Q: 基数は常に1より大きい整数なのですか?

Q: 整数でない基底は数学的に可能か?

Q: 数の底はどのように表記されるのですか?

Q: 「23 8」の例は何を意味するのか?

文字で検索