物理学において、ヤング・ラプラス方程式(/ləˈplɑːs/)は、水と空気などの二つの静的な流体の界面に生じる毛細管圧差（圧力ジャンプ）を記述する基本的な関係式です。界面に働く表面張力（あるいは壁張力）により、界面は曲率を持ち、その曲率に応じて両側の圧力が異なります。ヤング・ラプラス方程式はこの圧力差を界面の形状（曲率）と表面張力に関連付けるもので、静的な毛細管表面や液滴、気泡、泡膜などの解析に不可欠です。
方程式の定式化
ヤング・ラプラス方程式は、圧力差 Δp と表面張力 γ、主曲率の逆半径 R1、R2 を用いて次のように書かれます：
Δp = γ (1/R1 + 1/R2)。
これを平均曲率 H を使って表すと Δp = 2 γ H となります。球面（R1 = R2 = R）の場合は特に Δp = 2γ / R となり、円筒面（片方の曲率がゼロ）の場合は Δp = γ / R です。
符号規約と物理的意味
曲率の符号規約は文献により異なるため注意が必要です。一般に、界面が内側に凸（内側に向かって曲がっている）なら正の曲率とすることが多く、その場合内側の圧力が外側より高くなります。方程式は、界面を変形させると仕事（表面エネルギーの変化）が圧力仕事と釣り合うというエネルギー最小化または仮想仕事の原理から導かれます。
毛細管現象と接触角
ヤング・ラプラス方程式は毛細管上昇や湿潤現象とも密接に関連します。毛細管内の液面曲率は接触角 θ（液体－固体間の界面の濡れ性を示す角度）に依存し、毛細管上昇高さ h は次の式で与えられます：
h = 2 γ cosθ / (ρ g r)（ρ は液体密度、g は重力加速度、r は毛細管の半径）。
応用例
- 液滴や気泡の内部圧力の評価（洗剤泡、噴霧、噴霧乾燥など）
- 毛細管上昇や流路での液移動（目薬、土壌水の移動、マイクロ流体デバイス）
- 薄膜や界面の安定性解析（例えば、シャボン膜は両面の界面を持つため、実効表面張力が倍になり気泡の内部圧力はさらに大きくなる）
- 生体組織や循環器系のモデル化（肺胞や血管の壁張力に関する解析）
生理学でのラプラスの法則
生理学では同様の関係がラプラスの法則として使われ、特に薄い壁をもつ中空臓器（血管、心室、肺胞など）の内圧と壁張力の関係を表します。薄膜・薄壁近似においては、半径 r と壁張力 T（単位は力／長さ）について：
- 球形の臓器：p = 2T / r
- 円筒形の臓器：p = T / r
ここでの T は材料の張力（あるいは壁の応力に相当する量）であり、血管破裂や心室拡張などの評価に用いられます。
導出と理論的背景
方程式の導出は、表面自由エネルギーの変分法あるいは仮想仕事の原理に基づきます。微小な界面変位による表面積変化が表面張力により生ずる仕事と、圧力差が体積を変化させるときの圧力仕事とを釣り合わせることで、曲率と圧力差の関係が得られます。これにより、界面形状を決める非線形な境界値問題（ヤング–ラプラス方程式）が現れます。
歴史
この方程式は、1805年に表面張力の質的理論を提示したトーマス・ヤングと、1806年に数学的記述をまとめたピエール＝シモン・ラプラスにちなんで名付けられました。ヤングとラプラスの仕事は後にまとめられ、しばしばヤング–ラプラス–ガウス方程式と呼ばれます。カール・フリードリヒ・ガウスは、1830年に両者の考察を統一し、微分方程式と境界条件を導出しました。ガウスは導出にあたり、ヨハン・ベルヌーイの仮想仕事の原理を参照したとされています（参照：ヨハン・ベルヌーイ）。
注意点と拡張
ヤング・ラプラス方程式は平衡状態の局所的な関係式であり、流れや非平衡効果、界面の動力学（接触線の遅れ、界面の粘性）を直接扱うものではありません。実際の系では表面張力が温度や組成で変化する（マランゴニ効果）、あるいは界面活性剤の存在で有効表面張力が変わるなどの要因が重要になります。またナノスケールや鋭い曲率の領域では連続体仮定の限界に注意が必要です。
以上を踏まえると、ヤング・ラプラス方程式は日常的な液滴や毛細現象から生体内の圧力評価まで幅広い応用をもつ基本法則であり、界面物理学や表面化学、バイオメカニクスの重要な基盤を成しています。
