ツェルメロ・フレンケル集合論

Zermelo-Fraenkel set theory（略称：ZF）は、集合論を記述するための公理系である。ZFに選択公理を加えたものをZFCと呼ぶ。現在、ほとんどの数学者が集合論で用いている公理系である。

1901年にラッセルのパラドックスが発見された後、数学者は矛盾のない集合論を記述する方法を求めていた。1908年にツェルメロ（Ernst Zermelo）が集合論を提案した。1922年、アブラハム・フレンケルがツェルメロの研究を基に新しい版を提唱した。

公理

公理とは、何の疑問もなく受け入れられ、証明のない文のことである。ZFには8つの公理がある。

  1. 拡張の公理は、2つの集合が同じ要素を持つ場合にのみ、2つの集合は等しいとする。例えば、集合{ 1 , 3 }は{displaystyle \{1,3}}{\displaystyle \{1,3\}} と集合 { 3 , 1 } {displaystyle \{3,1}}{\displaystyle \{3,1\}} は等しい。
  2. 基礎の公理とは、すべての集合S { {displaystyle S} (空集合を除く)は、S { {displaystyle S} と不連続な要素を含むというものです。{\displaystyle S}(空集合以外)にはS {displaystyle S} と非接合(メンバを共有しない)の要素が含まれる。{\displaystyle S}.
  3. 仕様の公理は、集合S {displaystyle S} と述語F {displaystyle F} が与えられたとき、それらの要素を正確に含む集合が存在することを言う。{\displaystyle S}and a predicate F {displaystyle F}F (a function that is either true or false), that a set exists that exactly those elements of S {displaystyle S}{\displaystyle S} where F {displaystyle F}F is true, を含む集合が存在する。例えば、S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 }とすると{\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}}{\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}}とし、F{ {displaystyle F}F を「this is an even number」とすると、公理では集合{ 2 , 6 }は「偶数」となる。{displaystyle \{2,6}}{\displaystyle \{2,6\}} が存在する。
  4. ペアリングの公理は、2つの集合が与えられたとき、そのメンバーがちょうど与えられた2つの集合である集合が存在する、というものです。だから、2つの集合{ 0 , 3 }が与えられたとき{displaystyle \{0,3}}{\displaystyle \{0,3\}} and { 2 , 5 }.{displaystyle \{2,5}} という2つの集合があるとします。{\displaystyle \{2,5\}}この公理は、集合 { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } が、｛ 0 , 3 ｝と｛ 2 , 5 ｝の間にあることを意味する。, { 2 , 5 }}{displaystyle \{0,3},\{2,5}}}{\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} が存在することを意味する。
  5. 和集合の公理は、任意の集合に対して、その集合の要素の要素だけで構成される集合が存在することを言う。たとえば、集合{ { 0 , 3 }が与えられたとき, { 2 , 5 }}{\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}}{\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}}この公理では、集合 { 0 , 3 , 2 , 5 } は、次のように表される。{displaystyle \{0,3,2,5}}{\displaystyle \{0,3,2,5\}} exists.
  6. 置換の公理は、任意の集合S {displaystyle S}{\displaystyle S} と関数F {displaystyle F} に対して、S {displaystyle S} のすべてのメンバーに対してF {displaystyle F} を呼び出した結果からなる集合が存在するというものである。Fに対して、S {displaystyle S}{\displaystyle S} の全てのメンバに対して F {displaystyle F}F を呼び出した結果からなる集合が存在する、というものである。例えば、S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 }とすると{displaystyle S=Cheet{1,2,3,5,6}}{\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}} で、F {displaystyle F}F が "add ten to this number" なら、公理では集合 { 11 , 12 , 13 , 15 , 16 } は "add ten "である。{displaystyle \{11,12,13,15,16}}{\displaystyle \{11,12,13,15,16\}} が存在する。
  7. 無限大の公理は、（フォン・ノイマンの構成で定義される）すべての整数の集合が存在することを言う。これは、集合{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ....}{\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}} {\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}}
  8. 冪集合の公理は、任意の集合の冪集合(すべての部分集合の集合)が存在することを言う。例えば、{ 2 , 5 } のべき乗集合は以下の通りである。{displaystyle \{2,5}}{\displaystyle \{2,5\}} は { } , { 2 } , { 5 } です。, { 5 }, { 2 , 5 }}{\displaystyle \{\{\},\{2\},\{5\},\{2,5\}\}} {\displaystyle \{\{\},\{2\},\{5\},\{2,5\}\}}

選択の公理

選択公理は、集合の各要素から1つの対象を取り出して新しい集合を作ることができるというものです。例えば、集合{ { 0 , 3 }が与えられたとき, { 2 , 5 }}{\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}}{\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}}のような集合は、選択公理によれば、{ 3 , 5 }となる。{displaystyle \{3,5}}{\displaystyle \{3,5\}} のような集合が存在することがわかる。この公理は有限集合に対しては他の公理から証明できるが、無限集合に対しては証明できない。


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