ツェルメロ・フレンケル集合論（ZF・ZFC）とは 定義・公理（選択公理）と歴史

Zermelo-Fraenkel set theory（略称：ZF）は、集合論を記述するための公理系である。ZFに選択公理を加えたものをZFCと呼ぶ。現在、ほとんどの数学者が集合論で用いている公理系である。

1901年にラッセルのパラドックスが発見された後、数学者は矛盾のない集合論を記述する方法を求めていた。1908年にツェルメロ（Ernst Zermelo）が集合論を提案した。1922年、アブラハム・フレンケルがツェルメロの研究を基に新しい版を提唱した。

ZF／ZFCの目的と基本的考え方

ZFは「集合」を唯一の基本対象とし、集合とその要素関係のみで数学を形式化することを目指す公理系です。各公理は特定の操作（和・冪集合・集合の生成など）や性質（空集合の存在・元の同一性など）を許す／制限することで矛盾を避け、同時に通常の数学に必要な構成を可能にするように設計されています。ZFCはそれに選択公理（AC：Axiom of Choice）を加えた系で、解析学や代数で便利な結果を導きます。

主な公理（概略）

  • 外延性公理（Extensionality）：同じ元を持つ集合は等しい。
  • 空集合の存在（Empty set）：要素を持たない集合が存在する。
  • 対の公理（Pairing）：任意の a, b に対して {a, b} が集合として存在する。
  • 和集合の公理（Union）：集合の族に対してその和集合が存在する。
  • べき集合の公理（Power set）：任意の集合に対してその部分集合全体からなる集合（冪集合）が存在する。
  • 無限公理（Infinity）：自然数の公理的なモデルとなる無限集合が存在する。
  • 分離公理スキーマ（Separation / Specification）：既存の集合から式で定義される要素だけを抽出した部分集合が存在する（正則化された集合徴候による限定）。
  • 置換公理スキーマ（Replacement）：関数的なルールに従って集合の元を置き換えた像が集合になる。
  • 正則性（整礎）公理（Foundation / Regularity）：任意の非空集合は互いに包含関係の無い元を持ち、無限に入れ子になる円環的な集合が生じない（標準的な「階層」構造を保証）。
  • 選択公理（Choice, AC）：任意の非空集合族から1つずつ要素を選ぶ写像（選択関数）が存在する。これをZFに加えたものがZFC。

注：分離・置換などはいくつかがスキーマ（任意の式に対して成り立つ無限族の公理）として与えられる点が特徴です。

選択公理（AC）について

選択公理は多くの便利な定理と同値または導出可能です。代表的な同値命題には ツォルンの補題（Zorn's lemma） や 整列定理（well-ordering theorem） があります。これらは数学の各分野で頻繁に用いられ、例えばベクター空間の基底の存在やハーン＝バナッハの定理などは選択公理（あるいはその同値命題）に依存します。

歴史的経緯と独立性の発見

ツェルメロは当初ラッセルのパラドックスを避けるために集合の選択公理や整列定理の扱いを含む公理系を提案しました。その後フレンケルや他の数学者の改良により現在の形に近いZFが整備されました。

1938年、クルト・ゲーデルは構成可能集合族 L（constructible universe）の概念を使い、もしZFが矛盾しないならばZFに選択公理と一般連続仮説（GCH）を加えても矛盾しない、つまり ZF ⊬ ¬AC を示しました。1963年、ポール・コーエンはフォーシング（forcing）という革新的手法で、ZFは選択公理の真偽を決定できない（ACの独立性）ことを示しました。これにより、ACはZFからは決定できない命題であることが確立されました。

整合性とモデル理論的な視点

「整合性（consistency）」については、ZFの整合性を直接示すことはできません（ゲーデルの不完全性定理のため）が、ある体系から他の体系の整合性を相対的に示すことは可能です。例えばゲーデルの結果は「もしZFが矛盾しなければZF+ACも矛盾しない」ことを示します。またコーエンのフォーシングにより「ZFが矛盾しなければZF+¬ACも矛盾しない」ことが示され、結果としてACはZFに対して独立であると結論づけられます。

さらに集合論では「累積階層 V」や「級数（ordinals）」といった概念が中心で、これらを基礎にしてモデル（標準モデル・非標準モデル・内在モデルなど）を構成し、公理の性質や独立性を調べます。

ZF／ZFCの役割と代替的基礎論

ZFCは現代数学のほとんどを形式化するために広く採用されていますが、唯一の選択肢ではありません。主な代替は次の通りです。

  • NBG（von Neumann–Bernays–Gödel）：集合と類（class）を区別して扱う公理系で、扱いやすさの点で便利。
  • MK（Morse–Kelley）：より強力な類理論。
  • 型理論（type theory）やホモトピー型理論（HoTT）：計算的・構成的な基礎として注目され、特に形式化や証明支援ソフトで有利。
  • 圏論的基礎（カテゴリ理論を基礎にする流儀）も特定の分野で好まれる。

まとめと現代的意義

ZFおよびZFCは、数学の多くを堅牢に基礎づけるための標準的な公理系です。選択公理の採用は数学的便宜に富む一方で、その独立性の発見は「数学的真理」とは何か、どの公理を採用すべきかという哲学的・実務的問題を浮き彫りにしました。集合論研究は現在も大域的な公理の採用、巨大基数公理の検討、モデルの構成法（フォーシングなど）を通じて活発に進められています。

公理

公理とは、何の疑問もなく受け入れられ、証明のない文のことである。ZFには8つの公理がある。

  1. 拡張の公理は、2つの集合が同じ要素を持つ場合にのみ、2つの集合は等しいとする。例えば、集合{ 1 , 3 }は{displaystyle \{1,3}}{\displaystyle \{1,3\}} と集合 { 3 , 1 } {displaystyle \{3,1}}{\displaystyle \{3,1\}} は等しい。
  2. 基礎の公理とは、すべての集合S { {displaystyle S} (空集合を除く)は、S { {displaystyle S} と不連続な要素を含むというものです。{\displaystyle S}(空集合以外)にはS {displaystyle S} と非接合(メンバを共有しない)の要素が含まれる。{\displaystyle S}.
  3. 仕様の公理は、集合S {displaystyle S} と述語F {displaystyle F} が与えられたとき、それらの要素を正確に含む集合が存在することを言う。{\displaystyle S}and a predicate F {displaystyle F}F (a function that is either true or false), that a set exists that exactly those elements of S {displaystyle S}{\displaystyle S} where F {displaystyle F}F is true, を含む集合が存在する。例えば、S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 }とすると{\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}}{\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}}とし、F{ {displaystyle F}F を「this is an even number」とすると、公理では集合{ 2 , 6 }は「偶数」となる。{displaystyle \{2,6}}{\displaystyle \{2,6\}} が存在する。
  4. ペアリングの公理は、2つの集合が与えられたとき、そのメンバーがちょうど与えられた2つの集合である集合が存在する、というものです。だから、2つの集合{ 0 , 3 }が与えられたとき{displaystyle \{0,3}}{\displaystyle \{0,3\}} and { 2 , 5 }.{displaystyle \{2,5}} という2つの集合があるとします。{\displaystyle \{2,5\}}この公理は、集合 { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } が、｛ 0 , 3 ｝と｛ 2 , 5 ｝の間にあることを意味する。, { 2 , 5 }}{displaystyle \{0,3},\{2,5}}}{\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} が存在することを意味する。
  5. 和集合の公理は、任意の集合に対して、その集合の要素の要素だけで構成される集合が存在することを言う。たとえば、集合{ { 0 , 3 }が与えられたとき, { 2 , 5 }}{\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}}{\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}}この公理では、集合 { 0 , 3 , 2 , 5 } は、次のように表される。{displaystyle \{0,3,2,5}}{\displaystyle \{0,3,2,5\}} exists.
  6. 置換の公理は、任意の集合S {displaystyle S}{\displaystyle S} と関数F {displaystyle F} に対して、S {displaystyle S} のすべてのメンバーに対してF {displaystyle F} を呼び出した結果からなる集合が存在するというものである。Fに対して、S {displaystyle S}{\displaystyle S} の全てのメンバに対して F {displaystyle F}F を呼び出した結果からなる集合が存在する、というものである。例えば、S = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 }とすると{displaystyle S=Cheet{1,2,3,5,6}}{\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}} で、F {displaystyle F}F が "add ten to this number" なら、公理では集合 { 11 , 12 , 13 , 15 , 16 } は "add ten "である。{displaystyle \{11,12,13,15,16}}{\displaystyle \{11,12,13,15,16\}} が存在する。
  7. 無限大の公理は、（フォン・ノイマンの構成で定義される）すべての整数の集合が存在することを言う。これは、集合{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ....}{\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}} {\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}}
  8. 冪集合の公理は、任意の集合の冪集合(すべての部分集合の集合)が存在することを言う。例えば、{ 2 , 5 } のべき乗集合は以下の通りである。{displaystyle \{2,5}}{\displaystyle \{2,5\}} は { } , { 2 } , { 5 } です。, { 5 }, { 2 , 5 }}{\displaystyle \{\{\},\{2\},\{5\},\{2,5\}\}} {\displaystyle \{\{\},\{2\},\{5\},\{2,5\}\}}

選択の公理

選択公理は、集合の各要素から1つの対象を取り出して新しい集合を作ることができるというものです。例えば、集合{ { 0 , 3 }が与えられたとき, { 2 , 5 }}{\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}}{\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}}のような集合は、選択公理によれば、{ 3 , 5 }となる。{displaystyle \{3,5}}{\displaystyle \{3,5\}} のような集合が存在することがわかる。この公理は有限集合に対しては他の公理から証明できるが、無限集合に対しては証明できない。


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