数学では、関数とは、入力が与えられたときに出力を生成する数学的なオブジェクトのことです。
関数は機械のようなもので、xの値を取り、出力yを返します。yが持つことのできるすべての値を含む集合をコドメインと呼びます。
そうなると、yはxの関数であり、y =f(x)と書くことになる。
(XからYへの関数)を使って、ドメイン(x)、コドメイン(y)、ペアリングプロセス(矢印)の3つの部分を表現します。
関数の例は f(x)=x+1 自然数x {\ style x
} (0,1,2,3...)を入力として与えて 自然数y {\ style y}を得る。
これは x {displaystyle x} +1 (1,2,3,4...) 関数という考え方は、様々な可能性をカバーするために設定されている。関数は方程式である必要はない。主な考え方は、たとえ非常に複雑なプロセスであっても、入力と出力が何らかの形でペアになっているということである。
関数の厳密な定義
関数（写像）fは、ある集合 X（ドメイン）から別の集合 Y（コドメイン）へのルールで、次の条件を満たします：
- 任意の x ∈ X に対して、ちょうど一つの y ∈ Y が対応する（これを f(x) と書く）。
これを記号で表すと f: X → Y と書きます。ここで「対応するものの集合」（つまり実際に f によって取られる出力全体）は像（イメージ）または値域（レンジ）と呼ばれ、コドメインとは区別されます。像はコドメインの部分集合です。
用語の整理（簡潔に）
- ドメイン（定義域）：入力となる集合 X。
- コドメイン（余域）：すべての可能な出力を含むと決めた集合 Y（ルールによってはこの中の一部しか使われない場合がある）。
- 像（値域、レンジ）：実際に f が取ることのできる出力全体。これはコドメインの部分集合。
- グラフ：関数 f のグラフは、すべての順序対 (x, f(x)) の集合として表される。
具体例と注目点
- 例：f(x) = x + 1。もしドメインを 自然数（0,1,2,3,… とする慣習）とし、コドメインも自然数とした場合、像は {1,2,3,…} になります。つまり 0 は像に含まれないので、この写像は全射（コドメイン全体を覆う）ではありませんが、一価（各入力に対して値が一つ）であり単射（異なる入力が異なる出力を持つ）でもあります。
- 関数は必ずしも式で表される必要はありません。たとえば「曜日を次の日に対応させる規則（火→水、土→日、日→月 など）」や「各生徒に出席番号を割り当てる規則」も関数です。
- 他の例：恒等写像（id(x)=x）、定数関数（全ての x に対して f(x)=c のような関数）、床関数や絶対値、区分的に定義された関数など。
性質：単射・全射・全単射
- 単射（injective）：異なる x が常に異なる f(x) に写る。逆に言えば f(x1)=f(x2) なら x1=x2。
- 全射（surjective）：像がコドメインと等しい（すべての y ∈ Y に対して x ∈ X が存在して f(x)=y となる）。
- 全単射（bijective）：単射かつ全射。全単射であれば逆写像 f^{-1}: Y → X が存在する。
実務的な見方（直感）
関数を「入力→処理→出力」の黒箱として考えると理解しやすいです。処理は単純な計算かもしれませんし、非常に複雑なアルゴリズムや規則かもしれません。重要なのは、各入力に対して出力が一意に定まることです。
まとめ（ポイント）
- 関数 f は「ドメイン X からコドメイン Y への一意な対応」であり、記号 f: X → Y で表す。
- 像（値域）は実際に現れる出力の集合で、コドメインと区別する。
- 関数は式で表される必要はなく、任意の対応ルールが対象となる。
- 単射・全射・全単射は関数の重要な性質で、逆関数や写像の分類に役立つ。
