中心極限定理
中心極限定理とは、確率論の定理である。独立した多数の確率変数が与えられたとき、それらの合計は安定した分布に従うというものです。確率変数の分散が有限であれば、ガウス分布となります。この分布が正規分布とも呼ばれる理由の一つです。
最もよく知られ、最も重要なものは、中心極限定理として知られています。これは、同じ分布を持ち、分散と期待値が有限である大量の確率変数についてのものです。
この定理にはさまざまな一般化があります。これらの一般化の中には、もはやすべての確率変数の分布が同一であることを必要としないものもあります。これらの一般化では、一つの確率変数が他の確率変数よりも結果に大きな影響を与えないようにするための別の前提条件があります。例えば、リンデベルグ条件やリアプノフ条件などです。
この定理の名前は、George Pólyaが1920年に書いた論文「About the Central Limit Theorem in Probability Theory and the Moment problem（確率論における中心極限定理とモーメント問題について）」に基づいています。
質問と回答
Q:中心極限定理とは何ですか?
A:中心極限定理（CLT）とは、集約された確率分布の極限動作に関する定理です。独立した多数の確率変数が与えられたとき、それらの和が安定した分布に従うことを述べています。乱数変数の分散が有限であれば、ガウス分布になる。
Q:この定理のもとになった論文は誰が書いたのですか?
A:ジョージ・ピュブリャが1920年に書いた論文「確率論における中心極限定理とモーメント問題について」が、この定理のもとになっています。
Q:すべての確率変数が有限分散を持つとき、どのような分布になるのか?
A:すべての確率変数が有限分散のとき、CLTを適用すると、ガウス分布または正規分布になります。
Q:CLTには一般化されたものがあるのですか?
A: はい，すべての確率変数の分布が同一であることを必要としない，CLTのさまざまな一般化されたものがあります．これらの一般化にはリンデベルグ条件とリアプノフ条件が含まれ、一つの確率変数が結果に対して他のものより大きな影響を与えないようにします。
Q:これらの一般化はどのように働くのですか?
A:これらの一般化は，リンデベルグ条件やリアプノフ条件などの前提条件を追加することで，結果に対して単一の確率変数が他よりも大きな影響を及ぼさないことを保証しています．
Q:同じ分布を持つ独立な確率変数の標本平均と多数の和について，CLTはどのように言っていますか?
A: CLTでは、平均ى {displaystyle \mu }、標準偏差ى {displaystyle \sigma }を持つ同一分布で独立なn個の確率変数がある場合、それらの標本平均（X1）、標本総和（X2）は、CLTによれば とすると、それらの標本平均(X1+...+Xn)/nは平均がى{displaystyle \mu }、標準偏差がَ/√n {displaystyle {tfrac {sigma }{sqrt {n}}} で近似正規分布となります。さらに、それらの和X1+...+Xnも平均値nى、標準偏差√nَ {displaystyle {thqrt {n}} {sigma }で近似正規分布となる。｝ .
