定理
定理とは、数学において証明された考え方のことである。定理は、すでに証明されている論理や他の定理を使って証明されます。誰かが別の定理を証明するために、誰かが証明しなければならない定理のことをレンマと呼ぶ。定理は2つの部分から成り立っており、仮説と結論がある。
定理は経験的な理論とは対照的に演繹法を用います。
ある定理は些細なもので、命題から直接導かれる。他の定理は"深い"と呼ばれ、その証明は長くて難しい。時には、そのような証明は数学の他の分野を巻き込んだり、異なる分野間のつながりを示したりすることもあります。定理は簡単に述べられていても、深いものである場合もあります。フェルマーの最終定理などがその好例であり、数論や組合せ論など他の分野でも、単純でありながら深い定理の例はたくさんあります。
他にも証明が知られていても簡単には書ききれない定理があります。最良の例としては、4色の定理とケプラー予想があります。これらの定理はいずれも、コンピュータプログラムによって検証される計算探索に還元することによってのみ真であることが知られています。当初、多くの数学者はこの形式の証明を受け入れませんでしたが、近年ではより広く受け入れられるようになりました。数学者のドロン・ツァイルバーガーは、これまでに数学者が証明した中で唯一の非自明な結果である可能性があると主張しています。多くの数学的定理は、多項式の等式、三角関数の等式、超幾何学的等式など、より簡単な計算に還元することができます。
ピタゴラスの定理には、少なくとも370の既知の証明があります。
書籍
- ヒース、サー・トーマス・リトル (1897), The works of Archimedes, Dover, retrieved 2009-11-15
- ホフマン、P. (1998).数字だけを愛した男.ポール・エルドーズと数学的真実の探求の物語.ハイペリオン, ニューヨーク.
- ペトコフセク、マルコ; ウィルフ、ヘルベルト; ザイルベルガー、ドロン（1996）。"A = B".A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts.外部リンク先
｜title= (help)CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (link)
質問と回答
Q:定理とは何ですか?
A:定理とは、数学において、論理やすでに証明された他の定理を利用して、真であることが証明された考え方のことです。
Q:レンマとは何ですか?
A:レンマとは、主要な定理を証明するために証明しなければならない小定理のことです。
Q: 定理はどのように構成されるのですか?
A:定理は、仮説と結論の2つの部分からできており、経験則ではなく、演繹を用います。
Q:すべての定理は証明するのが難しいのですか?
A:いいえ、命題から直接導かれる些細な定理もあれば、数学の他の領域を巻き込んだり、異なる領域間のつながりを示したりする長くて難しい証明を必要とする定理もあります。
Q: 定理は単純でありながら深いものであることがありますか?
A:はい、その例として、フェルマーの最終定理が挙げられます。
Q:証明はわかっているが、簡単に書き表せない定理はあるのか?
A:あります。四色定理やケプラー予想など、コンピュータのプログラムにかけることでしか検証できないものがあります。
Q:数学の定理は、より単純な計算に還元できることがあるのですか?
A: はい、数学の定理は、多項式恒等式、三角関数恒等式、超幾何学恒等式のような、より単純な計算に還元できることがあります。
