定理とは：定義・証明・例（フェルマーの最終定理・四色定理）をわかりやすく解説
定理の定義・証明過程と代表例（フェルマーの最終定理・四色定理）を図解と平易な言葉で丁寧に解説。数学の深さと実例が一目でわかる入門。
定理とは、数学において論理的に導かれ、正当化された命題（主張）です。定理は公理や既に証明された結果、すなわち既存の論理や他の定理を出発点として、論理的な推論を積み重ねることで証明されます。証明の途中で補助的に用いられるがそれ自体独立して興味を持つ小さな主張をレンマ（補題）と呼びます。定理の記述は典型的には二つの部分から成り、前提となる条件（仮説）と、その仮説の下で成り立つ結論です。
定理と経験的な理論の違い
数学の定理は実験や観察に基づく経験的な理論とは異なり、演繹的な推論（演繹法を用いる）によって真偽が決まります。つまり、前提が受け入れられる限り、論理的に正しい証明があれば定理の結論は必然的に導かれます。
定理の「深さ」と例
ある定理は短い計算や既知の命題から簡単に導かれることがあり、このような定理は「自明」または「些細」と感じられます。一方で、証明に多くの新しいアイデアや長大な議論を要する定理は「深い」と呼ばれます。深い定理の証明はしばしば数学の異なる分野を橋渡しし、新たな理論や技法を生むことがあります。
簡潔な陳述でありながら深遠な例としては、フェルマーの最終定理などがその挙げられます。アンドリュー・ワイルズの証明は初めは楕円曲線やモジュラー形式など数論の高度な道具を使い、単純な形の命題が多くの数学領域と結びつく好例となりました。また、数論や組合せ論など多くの分野にも単純な見た目で深い定理が存在します。
計算を伴う証明と受容
別の重要な分類は「手計算的で書き切れる証明」と「大規模な計算や機械検証を伴う証明」に分かれます。代表例として、4色の定理やケプラー予想（球の最密充填に関する主張）があります。これらの定理は、当初の証明が大量のケース分けやコンピュータによる検証を必要とし、人間が紙の上で完全に追うのが困難でした。最初は多くの数学者が「計算に依存する証明」を躊躇しましたが、近年は計算機援用証明や形式化（後述）の進展により次第に受け入れられています。
例えば、四色定理は1976年にAppelとHakenがコンピュータを用いて証明しました。ケプラー予想はトーマス・ヘイルズによって1998年にコンピュータ計算を含む証明が発表され、その後の形式化プロジェクトである「Flyspeck」により厳密に検証されました。こうした先例から、計算に基づく証明でも十分に妥当と見なされる基準や手法が発展しています。
証明の種類と方法
定理の証明には多様な方法があります。代表的な手法をいくつか挙げます。
- 直接証明：仮定から論理的に段階を踏んで結論に到達する標準的な方法。
- 背理法（間接証明）：結論が偽であると仮定し、その矛盾を示すことで結論の真を導く方法。
- 数学的帰納法：自然数全体などについて初期段階と帰納段階を示して無限個の主張を証明する方法。
- 反例構成：存在に関する主張の否定を示すときに反例を構築する方法。
- 構成的証明：存在の主張に対して実際に具体的な対象を構成して見せる方法。
- 解析的・幾何的・組合せ的手法：問題の性質に応じて解析学や位相、代数、組合せ論などの道具を用いる。
補題・命題・系などの用語
数学の文脈では、定理よりも証明が短い結果を「命題（proposition）」、補助的なものを「補題（レンマ）」、定理から直接導かれる結果を「系（corollary）」と呼ぶなど、結果の性質や役割によって呼び分けられます。呼び方は慣習的な面もあり、必ずしもその重要性を厳密に示すものではありません。
形式化と自動証明
現代では証明の形式化と自動化が進んでおり、CoqやLeanのような定理証明支援系を使って定理と証明を形式的に記述し、機械に検証させる動きが活発です。これにより、人間の理解のための非形式的な議論と、機械が厳密にチェックできる形式的な証明の双方が補完関係を持つようになっています。上述のケプラー予想のFlyspeckや、近年の大規模な数学的定理の形式化は、この流れの代表例です。
まとめ
定理は数学における基本的単位であり、論理的に導かれることで普遍的な真理を示します。定理の深さや証明の難易度は様々で、時には単純な陳述が非常に深い理論を必要とすることがあります。伝統的な手法に加え、計算機援用証明や形式化が発展したことで、「何を証明と認めるか」という議論も進化してきました。数学の進歩は新しい定理の発見と、その証明法の革新によって支えられ続けています。
ピタゴラスの定理には、少なくとも370の既知の証明があります。
書籍
- ヒース、サー・トーマス・リトル (1897), The works of Archimedes, Dover, retrieved 2009-11-15
- ホフマン、P. (1998).数字だけを愛した男.ポール・エルドーズと数学的真実の探求の物語.ハイペリオン, ニューヨーク.
- ペトコフセク、マルコ; ウィルフ、ヘルベルト; ザイルベルガー、ドロン（1996）。"A = B".A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts.外部リンク先
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質問と回答
Q:定理とは何ですか?
A:定理とは、数学において、論理やすでに証明された他の定理を利用して、真であることが証明された考え方のことです。
Q:レンマとは何ですか?
A:レンマとは、主要な定理を証明するために証明しなければならない小定理のことです。
Q: 定理はどのように構成されるのですか?
A:定理は、仮説と結論の2つの部分からできており、経験則ではなく、演繹を用います。
Q:すべての定理は証明するのが難しいのですか?
A:いいえ、命題から直接導かれる些細な定理もあれば、数学の他の領域を巻き込んだり、異なる領域間のつながりを示したりする長くて難しい証明を必要とする定理もあります。
Q: 定理は単純でありながら深いものであることがありますか?
A:はい、その例として、フェルマーの最終定理が挙げられます。
Q:証明はわかっているが、簡単に書き表せない定理はあるのか?
A:あります。四色定理やケプラー予想など、コンピュータのプログラムにかけることでしか検証できないものがあります。
Q:数学の定理は、より単純な計算に還元できることがあるのですか?
A: はい、数学の定理は、多項式恒等式、三角関数恒等式、超幾何学恒等式のような、より単純な計算に還元できることがあります。
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