結合気体の法則とは：圧力・体積・温度の関係・公式と計算例

気体の法則からの導出

ボイルの法則は、圧力-体積積が一定であることを示しています。

P V = k 1 ( 1 ) {\displaystyle PV=k_{1}\qquad (1)} {P V = k 1 ( 1 ) {\displaystyle PV=k_{1}\qquad (1)} }

シャルルの法則では、体積は絶対温度に比例していることがわかります。

V T = k 2 ( 2 ) {displaystyle {\frac {V}{T}}=k_{2}qquad (2)}.

ゲイ・リュサックの法則では、圧力は絶対温度に比例すると言われています。

P = k 3 T ( 3 ) {\displaystyle P=k_{3}T\qquad (3)}} {P = k 3 T ( 3 ) {P=k_{3}T\qquad (3)

ここで、Pは圧力、Vは体積、Tは理想気体の絶対温度である。

(1)と(2)または(3)のいずれかを組み合わせることで、P,V,Tの新しい方程式が得られます。

P V T = k 1 ( T ) T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={frac {k_{1}(T)}{T}}}}}}。

P V T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{2}(P)P} .

両方の式の左辺が同じなので、次のようになります。

k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {frac {k_{1}(T)}{T}}=k_{2}(P)P} .

ということは

P V T = constant {displaystyle {\frac {PV}{T}}={\textrm {constant}}}}}}}}}。.

アボガドロの法則に代入すると、理想的なガスの式が得られます。

物理的な導出

初歩的な代数だけを用いた複合気体の法則の導出には、驚きの要素が含まれています。例えば、3つの経験則から始めると

P = k V T {displaystyle P=k_{V},T,\!}           (1) ゲイ・リュサックの法則、体積は一定とする

V = k P T {displaystyle V=k_{P}T,\!}           (2) シャルルの法則、圧力は一定とする

}           (3) ボイルの法則、温度は一定とする

ここで _kV, _kP, _kT は定数であり、3 つを掛け合わせると、次のようになります。

P V P V = k V T k P T k T {displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T},\!}

両辺の平方根を取ってTで割ると、所望の結果が得られるようです。

P V T = k P k V k T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}}},\!}

しかし、上記の手順を適用する前に、ボイルの法則の項を並べ替えただけの_kT = PVであれば、キャンセルして並べ替えた後、次のようになります。

k T k V k P = T 2 {\displaystyle {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}=T^{2},\!}

誤解を招くようなことがなければ、あまり参考になりません。

物理的な導出は、長いが、より信頼性の高い、ゲイ-リュサックの法則の定数体積パラメータは、システムの体積が変化すると変化することを実現することから始まります。一定の体積、_V1では、法則はP = k₁Tに見えるかもしれませんが、一定の体積_V2では、それはP = k₂Tに見えるかもしれません。この"可変定数体積"を_kV(V)で表し、法則を次のように書き換えます。

P = k V ( V ) T {\displaystyle P=k_{V}(V)T,\,T!}           (4)

同じ考察は，シャルルの法則の定数にも当てはまります．

V = k P ( P ) T {\ style V=k_{P}(P)T,T!}           (5)

_kV(V)を求めようとするときには、(4)と(5)の間のTを無意識に排除してはならない。むしろ、これらの式がどのような意味で両立しているのかを見極めることが先決である。これを理解するためには、任意の2つの変数が3番目の変数を決定することを思い出してください。PとVが独立していることを選択して、我々は、PV面の上に面を形成するTの値を思い浮かべます。定数 V₀ と P_{0 は、}その表面上の点である T_{0 を}定義します。これらの値を(4)と(5)に代入し、並べ替えると

T 0 = P 0 k V ( V 0 ) a n d T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {displaystyle T_{0}={\frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})}}quad and\quad T_{0}={\frac {V_{0}}{k_{P}(P_{0})}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}。

これらは両方とも表面上の同じ点で何が起こっているかを記述しているので、2つの数値式は等しくなり、再配置することができます。

k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {displaystyle {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}={\frac {P_{0}}{V_{0}}}}!}           (6)

1/_kV(V₀)および1/_kP(P₀)は、Ｐ軸／Ｖ軸に平行な、ＰＶ平面の上のその点を通る直交線の傾きであることに注意されたい。これら２本の線の傾きの比は、その点におけるＰ_０／Ｖ_０の値にのみ依存する。

(6)の関数形は選択された特定の点に依存しないことに注意してください。同じ式は、PとVの値の他のどのような組み合わせに対しても発生します。したがって、次のように書くことができます。

k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P ,∀ V {\displaystyle {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}}quad forforall P,forall V}}={\frac {P}{V}}}={\frac {P}{V}}}quad forall P,forall V}}.           (7)

これは、曲面上の各点は、その点を通る直交線の対を持ち、その点にのみ勾配比が依存していると言うことです。(6)が特定の傾きと変数値の関係であるのに対し、(7)は傾き関数と関数変数の関係です。これは、表面上の任意の点について、すなわち、PとVの値の任意の、そしてすべての組み合わせについて真である。関数_kV(V)のこの方程式を解くには、まず、左にV、右にPという変数を分離します。

V k V ( V ) = P k P ( P ) {displaystyle V\,k_{V}(V)=P,k_{P}(P)} }

任意の圧力P_1を選ぶ。右辺が任意の値に評価され、これを_カルブと呼ぶ。

V k V ( V ) = k arb {\displaystyle V\,k_{V}(V)=k_{Text{arb}},\!}           (8)

この特定の式は、今では、1つのVの値だけでなく、すべてのVの値に対しても真でなければなりません。

k V ( V ) = k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={\frac {k_{\text{arb}}}{V}}}}}}}}}}}}}}}}。           (9)

これは(8)で代入することで確認できます。

最後に、(9)をゲイ・リュサックの法則(4)に代入して並べ替えると、複合気体の法則が得られます。

P V T = k arb {displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{\text{arb}},\!}

ボイルの法則がこの導出で使用されていない間、それは結果から容易に推論されることに注意してください。一般的に、3つの開始法則のうちの任意の2つは、このタイプの導出で必要とされるすべてのものです-すべての開始ペアは、同じ結合された気体の法則につながります。

アプリケーション

複合気体の法則は、圧力、温度、体積が影響を受ける力学を説明するために使用することができます。例：エアコン、冷蔵庫、雲の形成、また、流体力学や熱力学での使用。

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