離散（概念）

特徴と対比

離散的な系は、分離性、独立性、そしてしばしば数え上げ可能であることによって特徴づけられる。離散変数は、整数やカテゴリのような、互いに異なる可能性の集合から値を取る。これに対して、連続変数は区間内の任意の値を取りうる。関連する区別として、次のようなものがある。

• 可算と不可算: 離散集合は、整数のように有限または可算無限であることが多いが、連続体は実数区間のように不可算である。
• 離散・量子化・デジタル: 「量子化」は、丸めや標本化のように量を区分することを指す。「デジタル」はしばしば二進表現を含意するが、離散であることと同一ではない。

応用と例

多くの分野で離散の概念が用いられる。数学では、グラフ、木、有限群、組合せ設計、そして離散位相（すべての部分集合が開集合である位相）などが離散構造に含まれる。計算機科学と工学では、離散アルゴリズム、データ構造、有限状態機械、離散事象シミュレーションが重要である。信号処理では、連続信号を標本化することで離散時間信号が得られる。統計学では、二項分布やポアソン分布のような離散確率分布がある。電子工学では、個別のトランジスタや抵抗器のような離散部品と、集積回路が区別される。

歴史と注目点

離散構造の研究は現代の計算機以前から存在していた。数論、組合せ論、論理学は長い歴史をもつ分野であるが、コンピュータの普及によって新たな重要性を得た。離散モデルは、デジタル技術、アルゴリズム的推論、組合せ的な問題解決の中心にある。実際の多くの系は離散的要素と連続的要素を併せ持つため、ハイブリッドなモデルや専用の手法が必要になる。