楕円とは｜定義・標準方程式・焦点・性質と惑星の軌道

楕円の定義から標準方程式、焦点の関係、性質、惑星の軌道まで図解と例でわかりやすく解説。

楕円は、楕円や扁平な円のような平面図形です。古典的には、幾何学で「円錐体と平面との交線で、閉じた曲線になるもの」を楕円と定義します（円錐切断による円錐曲線の一種）。また、点の軌跡としては「平面上の2つの固定点（焦点）からの距離の和が一定となる点の集合」としても定義できます。

標準的な方程式

中心が (h,k) で長軸が x 軸方向（水平）のときの楕円の標準形は次のようになります。

(x-h)^{2}/a^{2} + (y-k)^{2}/b^{2} = 1

ここで a, b はそれぞれ半長軸（semi-major axis）と半短軸（semi-minor axis）を表し、通常 a ≥ b と取ります。長軸の全長は 2a、短軸の全長は 2b です。長軸が垂直方向（y 軸方向）の場合は式を入れ替えて (x-h)^{2}/b^{2} + (y-k)^{2}/a^{2} = 1 と書きます。

焦点と離心率

楕円には2つの焦点（foci）があります。中心 (h,k) から各焦点までの距離を c とすると、a, b, c の間には次の関係が成り立ちます：

c^{2} = a^{2} - b^{2}

したがって、焦点の座標は水平長軸の場合 (h ± c, k)、垂直長軸の場合は (h, k ± c) になります。焦点間の距離は 2c です。

離心率 e は e = c / a で定義され、楕円では 0 ≤ e < 1 です。e = 0 のときは円（a = b）、e に近いほど楕円は細長くなります。e = 1 に近づくと放物線に近づく（円錐曲線としての極限）ことが分かります。

定義（距離和と軌跡）と反射性

円は楕円の特殊例であり、楕円は「任意の点 P が 2つの焦点 F1, F2 からの距離 |PF1| + |PF2| が一定（= 2a）である点全体の集合」です。実験的な作図法として、ピン2本と糸を使って楕円を描く方法（いわゆる紐とピンの方法）がよく知られています。

楕円は重要な反射特性を持ちます：一方の焦点から発した光線は楕円上で反射するともう一方の焦点に集まります（鏡面反射の法則に基づく）。この性質は音響や光学（例：焦点鏡や反射音の集め方）で利用されます。

パラメトリック表示と面積・周長

楕円のパラメトリック表示（中心 (h,k)）は次の通りです：

x = h + a cos t, y = k + b sin t, (t ∈ [0,2π))

楕円の面積は

面積 = π a b

周長（周囲長）は楕円の形によって閉形積分で与えられ、初等関数では厳密に表せません。実用上は近似式を用います。代表的なラマヌジャンの近似式：

P ≈ π[3(a + b) − √{(3a + b)(a + 3b)}]

より精度の高い近似式（ラマヌジャン第2式）もあります。ここでの誤差は a,b の比により変わりますが、実務上は十分精度の高い近似です。

直線準則（準線）と一般的な定義

楕円はまた焦点と準線（directrix）を用いて「ある点から焦点への距離とその点から対応する準線への距離との比が一定（= e）で、e < 1」で定義することもできます。標準形 x^{2}/a^{2} + y^{2}/b^{2} = 1 の場合、準線は x = ± a/e（中心が原点、長軸が x 軸方向のとき）となります。

その他の性質・特殊例

• 頂点（vertices）：長軸の両端は (h ± a, k)、短軸の両端は (h, k ± b)（水平長軸の場合）。
• 円は特別な楕円であり、a = b のとき楕円は円になり、焦点は中心に一致します（e = 0）。
• 一般の二次曲線 Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0 のうち、判別式 B^{2} − 4AC < 0 の場合に楕円（回転している場合も含む）となる場合があります。回転楕円は座標変換で標準形に直します。

惑星の軌道とケプラーの法則

歴史的・物理的応用として、ケプラーの第一法則は「惑星は太陽を一つの焦点とする楕円軌道を描く」と述べます。従って、ある惑星の公転軌道は楕円であり、一方の焦点に太陽が位置します（もう一方の焦点には何も位置しないことが多い）。これが古典力学と天体力学で重要な役割を果たします。

まとめ（重要ポイント）

• 定義：2つの焦点からの距離の和が一定の点の集合。
• 標準方程式： (x-h)^{2}/a^{2} + (y-k)^{2}/b^{2} = 1 （a ≥ b）
• 焦点と関係： c^{2} = a^{2} − b^{2}, 離心率 e = c/a （0 ≤ e < 1）
• 面積： πab、反射性などの応用あり。

上で述べた性質や公式は、楕円を扱う際の基本です。必要であれば、座標変換による回転楕円の標準化や、楕円の厳密な導出（距離和の代数的処理）についても別途詳しく説明します。

質問と回答

Q:楕円とは何ですか?

Q:楕円はどのように作るのですか?

Q:円は何の特殊な場合なのですか?

Q: 楕円の焦点はいくつあるのですか?

Q:楕円を記述する方程式は何ですか?

Q: 楕円軌道の例はどこにある?

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