円は丸い二次元の形状である。円の端にあるすべての点は、中心から同じ距離にある。図形としては、境界だけを表す「円周」と、その内部を含む「円板（円盤）」を区別して扱うことが多い。
円の半径は、円の中心から側面の点までの直線である。数学者は円の半径の長さをrという文字で表す。半径は円の大きさを決める基本量で、長さの単位（cm, m など）で表す。円の中心とは、円の中心の点のことである。
円の直径（「ずっと横切る」という意味）は、円の片側から反対側に向かって、円の中心を通る直線です。数学者は、この直線の長さにdという文字を使います。円の直径は半径の2倍に相当する（dは2倍のrに相当）。
♪ d = 2 r {displaystyle d=2 r} ♪ ♪ 
円の円周（「一周する」という意味）とは、円の中心を回る線のことである。数学者はこの線の長さにCの文字を使います。円周の長さは直径や半径と関係があり、次の重要な定数を用いて表されます。
πという数字（ギリシャ文字のπと書かれています）は非常に便利な数字です。これは円周の長さを直径の長さで割ったものです（πはCをdで割ったものに等しい）。分数としてのπは約22⁄7または335/113（どちらか近い方）に相当し、数としては約3.1415926535になります。πは無理数であり、さらに超越数であることが知られています（すなわち有限個の代数的操作だけでは正確に表せない）。歴史的には円周率を求めるために多くの近似法や無限級数、数値計算法が発展しました。
円周と直径の関係から、円周の公式は次のように表せます：C = π d = 2 π r。この式は円の大きさ（半径や直径）から円周の長さを直接計算するために使います。たとえば、半径が3 cm の円では、円周は C = 2π×3 ≈ 18.85 cm になります。
円の内側の面積（円が囲む領域の面積）は、半径を使って表すと次の公式になります：A = π r²（元の文では小文字のaと表記されていますが、ここでは大文字のAで面積を示すことが多いです）。単位は平方センチメートル（cm²）や平方メートル（m²）などです。例として半径が3 cm の円の面積は A = π×3² = 9π ≈ 28.27 cm² です。面積公式の直感的な説明としては、円を非常に細かい同心円状の輪に分けて長方形に近い形へ並べ替える（あるいは極座標や積分を用いる）方法があります。
角度・弧・扇形（せんけい）に関する公式
- 中心角をθ（ラジアン）とすると、その角に対応する弧長 s は s = r θ で表される。θ が度数法（°）で与えられる場合はラジアンに変換する必要がある（θrad = θ° × π/180）。
- 同じ中心角θ（ラジアン）の扇形の面積は S = (1/2) r² θ である。これらは円周や面積の公式とラジアンの定義から直接導ける基本公式です。
円に関するその他の用語と性質（簡単なまとめ）
- 弦（chord）: 円周上の2点を結ぶ線分。直径は最長の弦で、常に中心を通る。
- 接線（tangent）: 円に1点だけ接する直線。接点での接線はその点における半径と直交する。
- 弧（arc）: 円周の一部分。長さは弧に対応する中心角で決まる（s = r θ）。
- 対称性: 円は中心を中心とする任意の回転に対して不変であり、無限の回転対称性を持つ。
計算例
- 半径 r = 5 cm の円: 円周 C = 2πr = 10π ≈ 31.4159 cm、面積 A = πr² = 25π ≈ 78.5398 cm²。
- 直径 d = 8 m の円: 半径 r = d/2 = 4 m、円周 C = πd = 8π ≈ 25.1327 m、面積 A = πr² = 16π ≈ 50.2655 m²。
円は幾何学だけでなく、物理学・工学・測量・天文学・コンピュータグラフィックスなど多くの分野で基本的かつ重要な役割を果たします。上に示した公式や性質を理解しておくと、円に関する多くの問題を簡潔に解くことができます。
