フェルマー数は特殊な正の整数であり、ピエール・ド・フェルマーにちなんで名付けられました。フェルマー数は次の式で定義されます。
Fn = 22n + 1 
ここで、nは非負の整数です。最初のいくつかのフェルマー数は次のとおりです（OEIS 配列 A000215）。
- F0 = 220 + 1 = 21 + 1 = 3
- F1 = 221 + 1 = 22 + 1 = 5
- F2 = 222 + 1 = 24 + 1 = 17
- F3 = 223 + 1 = 28 + 1 = 257
- F4 = 224 + 1 = 216 + 1 = 65537
- F5 = 225 + 1 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
- F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
- F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
- F8 = 2256 + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321
基本的な性質
- ペアワイズ互いに素: フェルマー数は互いに素です。具体的には Fn − 2 = F0·F1·…·Fn−1 となり、これにより任意の i < j に対して gcd(Fi, Fj) = 1 が従います。
- 素因数の形: 奇素数 p が Fn を割るとき、p は 2n+1 の倍数に 1 を足した形、すなわち p ≡ 1 (mod 2n+1) を満たします。このことは位数に関する考察から導かれます。
- 指数は 2 のべき乗である必要: 整数 n > 0 に対して 2n + 1 が素数であるならば、n は必ず 2 のべき乗でなければなりません。もし n = a·b （a > 1, b 奇数）ならば 2ab + 1 は因数分解できます。
歴史と既知の結果
- フェルマーの予想と反例: フェルマーは当初すべての Fn が素数になると予想しましたが、1732年にオイラーが F5 を合成数であること（641 が割る）を示してこの予想を覆しました。
- オイラーによる F5 の因数確認（簡単な説明）: 641 = 5·27 + 1 かつ 641 = 54 + 24 であることを利用して、232 ≡ −1 (mod 641) を示し、したがって 641 は F5 を割ることが分かります。
- 既知のフェルマー素数: 今のところ F0, F1, F2, F3, F4 の 5 個だけが素数であることが確認されています。F5 以降で素数であることが証明されたものは知られていません。
- 因数分解の状況: 多くのフェルマー数は合成数で、その素因数のいくつかあるいは全てが見つかっています。ただし、一般に指数が大きくなると完全因数分解は非常に難しく、未解決の項も残ります（計算や新しいアルゴリズムによる継続的な研究対象です）。
判定法と応用
- Pepin の判定法: n ≥ 1 に対して、Fn が素数であることは等価に次を満たします。 3(Fn−1)/2 ≡ −1 (mod Fn). これが Pepin の判定法で、Fn の素性を効率的に確かめるために用いられます（基底 3 の代わりに他の適当な基底を使う場合もあります）。
- 作図可能性（正多角形との関係）: ガウスの結果により、正 n 角形が定規とコンパスで作図可能であるための必要十分条件は、n が 2 のべきと互いに異なる Fermat 素数の積で表されることです。したがって、既知の Fermat 素数が限られているため、この条件に該当する多角形の具体例も有限個しか知られていません。
研究と現在の課題
- フェルマー数の素因数探索や完全因数分解は現在も活発な計算論的研究分野です。指数が大きくなるほど数は桁数的に急増するため、因数探索は困難になります。
- Fn が素数となる n が有限個か無限個かは未解決の問題です。現時点では F0～F4 以外のフェルマー素数は見つかっておらず、多くの専門家は他に存在しない可能性が高いと考えていますが、決定的な証明はありません。
参考: フェルマー数の素因数分解や最新の発見については、専用のデータベースや数論の文献、オンラインプロジェクトの成果を参照してください（上の OEIS リンクなど）。
