フェルマー数
フェルマー数は特殊な正の数である。フェルマー数はピエール・ド・フェルマーにちなんで名付けられました。それらを生成する式は
F n = 2 2 2 n + 1 {displaystyle F_{n}=2^{2^{overset {n}{}}}+1}} {2^{2^{overset {n}{}}}+1}}。 
ここで、nは非負の整数である。最初の９個のフェルマー数は（OEISの配列A000215）である。
F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65537
F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
F8 = 2256 + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321
2007年の時点では、最初の12個のフェルマー数だけが完全に因数分解されています。(素数の積として書かれている) これらの因数分解は，フェルマー数の素数分解を参照してください．
2n + 1 が素数で、n > 0 の場合、n は 2 の累乗でなければならないことがわかります。2n + 1 の形のすべての素数はフェルマー数であり，そのような素数はフェルマー素数と呼ばれます．Fermat素数で知られているのはF0,...,F4だけである．
フェルマー数の面白さ
- 2つのフェルマー数に共通の除数はありません。
- フェルマー数は再帰的に計算することができます。N番目の数を得るには、その前のすべてのFermat数を掛け合わせ、その結果に2を足します。
何のために使用されているか
今日では、フェルマー数は、0からいくつかの値Nの間で、2の乗である乱数を生成するために使用することができます。
フェルマーの推論
フェルマーは、これらの数を研究していたとき、フェルマーの数はすべて素数であると思い込んでいた。これが間違っていると証明されたのは、レオンハルト・オイラーが1732年にF 5 {\displaystyle F_{5}}を
因数分解したことである。
質問と回答
Q:フェルマー数とは何ですか?
A:フェルマー数とは、ピエール・ド・フェルマーにちなんで名付けられた特殊な正の数です。F_n = 2^2^(n) + 1（nは非負の整数）の式で生成されます。
Q:フェルマー数はいくつあるのですか?
A: 2007年現在、最初の12個のフェルマー数のみが完全に因数分解されています。
Q:最初の9個のフェルマー数とは何ですか?
A: F0=3、F1=5、F2=17、F3=257、F4=65537、F5=4294967297 (641 × 6700417)である。F6 = 18446744073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 340282366920938463463374607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721)とする。とF8＝1157920892373161954235709850086879078532699665640564039457584007913129639937（1238926361552897×93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321）である。
Q:2n＋1という形の素数について、どのようなことが言えるか?
A:2n＋1が素数で、n＞0ならば、nは2のべき乗でなければならないことが示される。2n + 1の形の素数はすべてフェルマー数でもあり、そのような素数をフェルマー素数と呼びます。フェルマー素数は0から4までしか知られていない。
Q: 既知の12個の因数分解されたフェルマー数はどこで見つけることができますか?
A:既知の12個の因数分解はフェルマー数の素因数分解で見ることができます。
Q: ピエール・ド・フェルマールとは誰ですか?
A: ピエール・ド・フェルマーは17世紀に生きたフランスの数学者で、その研究は近代数学の基礎の多くを築きました。確率論や解析幾何学への貢献でよく知られていますが、有名な「最後の定理」は1995年にアンドリュー・ワイルズが代数幾何学の手法を用いて証明するまで未解決のままでした。
