数とは何か：定義・種類・序数・基数と数学・日常の応用

人の数字

数字に記号を与える方法には様々な方法があります。これらの方法は、数のシステムと呼ばれています。人々が使用する最も一般的な数のシステムは、ベース10の数のシステムです。10進数システムは、10進数システムとも呼ばれます。10本の指と10本の指があるので、10本ベースの数のシステムが一般的です。ベース10の数字システムでは、10種類の記号{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}が使われています。これらの10の記号は、数字と呼ばれています。

数字の記号は、この10桁の数字で構成されています。数字の位置によって、その数字の大きさがわかります。例えば、10進法の数字23は、実際には（10の2倍）＋3を意味し、101は100の1倍（＝100）＋10の0倍（＝0）＋1の1倍（＝1）を意味します。

機械の数字

機械の方が一般的なのは、もう一つの数体系です。機械の番号システムは2進数システムと呼ばれています。2進数方式は、基数2数方式とも呼ばれています。基数2数方式では、2つの異なる記号（0と1）が使用されています。この2つの記号をビットと呼びます。

2進数の記号は、この2つのビット記号で構成されています。ビット記号の位置は、数字の大きさを表しています。例えば、2進数の10という数字は、実際には1倍の2+0を意味し、101は1倍の4(=4)+0倍の2(=0)+1倍の1(=1)を意味します。2進数の10は10進数の2と同じです。2進数101は10進数5と同じです。

英語には、10進法のいくつかの数字に「10の累乗」という特別な名前があります。10進数システムのこれらの10の累乗数は、すべて「1」という記号と「0」という記号だけを使っています。例えば、「10の10」は「10の10倍」、つまり「100」と同じです。これを記号で表すと「10×10＝100」となります。また、１０数百は、１０回の１００、つまり１０００と同じです。これは記号では「10×100＝10×10×10＝1000」となります。他にも10の数の累乗には特別な名前がついているものもあります。

• 1 - 1
• 10 - 10
• 100 - 100
• 1,000 - 1,000
• 100万～100万

これよりも大きな数字を扱う場合、英語では2つの異なる名前の付け方があります。ロングスケール」では、最後に命名された数字の100万倍の大きさになるたびに新しい名前が付けられます。これは「ブリティッシュ・スタンダード」とも呼ばれています。このスケールはイギリスで一般的に使用されていましたが、今日では英語圏の国ではあまり使用されていません。他のヨーロッパのいくつかの国ではまだ使用されています。もう一つの尺度は「ショート・スケール」と呼ばれるもので、ある数字が最後に命名された数字の1000倍の大きさになるたびに新しい名前が付けられます。このスケールは、今日ではほとんどの英語圏の国でよく使われています。

• 1,000,000,000 - 10億（短尺）、1ミリヤード（長尺
• 1,000,000,000 - 1兆（短尺）、10億（長尺
• 1,000,000,000,000 - 1,000,000,000 - 1,000,000,000 - 1,000,000,000 - 1,000,000,000 (短尺)、1,000,000,000 (長尺)

自然数

自然数とは、1,2,3,4,5,6,7,8,9,10など、私たちが普通に数を数えるときに使う数字のことです。0も自然数だという人もいます。

これらの数字の別の呼び名は、正の数字です。これらの数字は、負の数字とは違うことを示すために+1と書かれることもある。しかし、すべての正の数が自然数であるわけではない（例えば、1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}は正の数であるが、自然数ではない）。

0が自然数と呼ばれる場合、自然数は全数と同じです。0が自然数と呼ばれていない場合は、自然数は数える数字と同じです。ですから、「自然数」という言葉を使わなければ、ゼロが含まれているかどうかの混乱は少なくなるでしょう。しかし、残念ながら、ゼロも整数ではないという意見もありますし、整数は負の整数になることもあるという意見もあります。"正の整数"や"非負の整数"も、ゼロを含むか、ゼロを除外するかの別の方法ですが、それらの言葉を知っている人であれば大丈夫です。

負の数字

マイナスの数字は0よりも小さい数字です。

負の数を考える方法の一つに、数字の線を使う方法があります。この線上の一点をゼロと呼びます。そして、その線上のすべての位置に、ゼロ点の右に何センチ離れているかをラベル（名前を書く）をつけます。

さて、ゼロ点から左に１ｃｍのところにある点を考えてみましょう。この点を１と呼ぶことはできない．そこで，この点をマイナス１（-１）と呼ぶことにする（１センチ離れているが，反対方向にあるので）．

数字の線の図面は以下の通りです。

数学の通常の操作は、すべて負の数で行うことができます。

人が負の数を別の数に足す場合、これは同じ数字で正の数を取り去るのと同じです。例えば、5 + (-3)は、5 - 3と同じで、2に等しいです。

彼らが別の負の数を奪う場合、これは同じ数字で正の数を足すのと同じです。例えば、5 - (-3)は、5 + 3と同じで、8になります。

2つの負の数を掛け合わせると正の数になります。例えば、-5倍の-3は15です。

負の数に正の数をかけたり、正の数に負の数をかけたりすると、負の結果になります。例えば、5倍の-3は-15です。

負の数の平方根を求めることは、負の倍が負に等しいので不可能です。負の数の平方根をiのようにsimboliseします。

整数

整数とは、すべての自然数、そのすべての対数、ゼロのことです。十進数や分数は整数ではありません。

有理数

有理数とは、分数として書くことができる数のことです。つまり、aとbは整数で、bは0に等しくないということで、a÷bと書くことができます。

1/10のような有理数の中には、小数点以下に有限の桁数がないと10進数で書けないものもあります。10分の1という数字は、10進数で0.1と書きます。有限の小数で書かれた数字は有理数です。1/11のような有理数の中には、小数点以下に無限の桁数が必要なものもあります。小数点以下の桁には繰り返しのパターンがあります。1/11という数字は、0.0909090909と10進数で書かれています．

7%のようなパーセンテージは、7/100の分数として書くことができるので、パーセンテージは有理数と呼ばれるかもしれません。また、10進数の0.07と書くこともできます。割合を有理数と呼ぶこともあります。

非合理的な数字

不規則数とは、分数として書くことができないが、虚数部を持たない数のことである（後述）。

幾何学では、不規則な数はしばしば発生します。例えば、辺が1メートルの正方形の場合、対向する角の間の距離は2の平方根で、これは1.414213 ...に等しい。これは不合理な数である．数学者は，すべての自然数の平方根が整数か非理数であることを証明している．

よく知られている理不尽な数の一つに円周率（π）があります。これは、円の円周（周囲の距離）を直径（横切る距離）で割ったものです。この数字はどの円でも同じです。円周率は約3.1415926535 ... .

非合理的な数は10進数では完全に書ききれません。小数点以下の桁数が無限になるからです。0.333333 ...とは異なり、これらの桁は永遠に繰り返されることはありません。

実数

実数とは、上に挙げたすべての数のセットの名称です。

• 整数を含む有理数
• 非合理的な数字

虚数を伴わない数字ばかりです。

虚数

虚数は実数にiを掛けたもので、この数はマイナス1(-1)の平方根になります。

実数の中には、2乗すると-1になるような数は存在しない。そこで数学者はある数を発明した彼らはこの数をiと呼び，虚数単位と呼んでいた．

虚数は実数と同じルールで動作します。

• 2つの虚数の和は、iを抜いて（因数分解して）求めます。例えば、2i + 3i = (2 + 3)i = 5iとなります。
• 2つの虚数の差も同様に求めます。例えば、5i - 3i = (5 - 3)i = 2iとなります。
• 2つの虚数を掛け合わせるときは、i × i (i^2)は-1であることを覚えておきましょう。例えば、5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15 となります。

虚数が虚数と呼ばれるようになったのは、最初に発見されたとき、多くの数学者が虚数が存在するとは考えていなかったからである。虚数を発見したのは1500年代のジェロラモ・カルダーノである。虚数という言葉を最初に使ったのはルネ・デカルトである。最初に虚数を使ったのはレナード・オイラーとカール・フリードリヒ・ガウス。どちらも18世紀に生きていた。

複素数

複素数とは、実数と虚数の2つの部分を持つ数のことです。上に書かれているすべてのタイプの数も複素数です。

複素数は、数のより一般的な形です。複素数は、数の平面上に描くことができる。これは実数線と虚数線で構成されています。

普通の数学はすべて複素数でできます。

• 2つの複素数を足すには、実部と虚部を別々に足します。例えば、(2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i となります。
• ある複素数を別の複素数から引くには、実部と虚部を別々に引きます。例えば、(7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i となります。

2つの複素数を乗算するのは複雑です。一般論で説明するのが一番簡単で、2つの複素数a + biとc + diです。

( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b i × c + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c c ) i {displaystyle (a+b+bmathrm {i} )I {\times (c+dmathrm {i} )=a+a\times c+a\times dmathrm {i} } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } }+♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪\♪ ♪times c+b+bmathrm {i}\I} =ac+ad\mathrm {i} =ac+ad+bc}

例えば、（４＋５ｉ）×（３＋２ｉ）＝（４×３-５×２）＋（４×２＋５×３）ｉ＝（１２-１０）＋（８＋１５）ｉ＝２＋２３ｉとなります。

超越的な数

実数や複素数は、整数の係数を持つ代数方程式の結果として得られないものを超越数と呼ぶ。

a n x n + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}}}。

ある数が超越的な数であることを証明するのは非常に困難です。超越的な数はそれぞれ非合理的な数でもある。超越的な数があることを最初に知ったのはゴットフリート・ウィルヘルム・ライプニッツとレオンハルト・オイラーである。実際に超越数があることを証明した最初の人は、ジョセフ・リューヴィルです。彼はこれを1844年に行いました。

よく知られた超越的な数字。

• e
• π
• 代数的Ａ≠０のためのＥ^Ａ
• 2 2 2 {displaystyle 2^{\sqrt {2}}}}