ゲーデルの不完全性定理
ゲーデルの不完全性定理とは、1931年にクルト・ゲーデルが証明した2つの定理（数学的な真の記述）の名称である。この2つの定理は、数理論理学の定理です。
かつて数学者は、真のものはすべて数学的に証明されていると考えていました。このような性質を持つシステムを完全、そうでないものを不完全と呼びます。また、数学の考え方には矛盾があってはいけません。つまり、真であると同時に偽であってはならないということです。矛盾を含まないシステムを「一貫性」と呼びます。これらのシステムは、公理のセットに基づいています。公理とは、真であると認められる記述であり、証明を必要としません。
ゲーデルは、すべての自明でない（興味深い）形式的システムは、不完全か無矛盾のどちらかであると言いました。
- ある公理を使っても答えられない問題は常に存在します。
- ある公理系が一貫していることは、別の公理系を使わない限り証明できません。
これらの定理が数学者にとって重要なのは、数学のすべてを説明する公理のセットを作ることは不可能であることを証明しているからです。
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質問と回答
Q:ゲーデルの不完全性定理とは何ですか?
A:ゲーデルの不完全性定理は、数理論理学の分野で1931年にクルト・ゲーデルによって証明された、2つの真の数学的記述です。
Q:数学における完全系とは何ですか?
A:数学における完全系とは、「真であるものはすべて数学的証明を持っている」という性質を持つ系のことです。
Q:数学における不完全系とは何ですか?
A:数学における不完全系とは，「真であるものはすべて数学的に証明される」という性質を持たない系のことです．
Q: 数学における一貫したシステムとは何ですか?
A:数学の一貫体系とは、矛盾を含まない体系のことで、数学的な考え方が、同時に真と偽にならないことを意味します。
Q:数学の公理とは何ですか?
A:数学の公理とは、真であると認められ、証明を必要としない記述のことです。
Q: ゲーデルは、自明でないすべての形式システムについて何を主張したのですか?
A: ゲーデルは、すべての非自明な形式システムは、不完全か矛盾していると主張しました。
Q: なぜゲーデルの不完全性定理は数学者にとって重要なのでしょうか?
A: ゲーデルの不完全性定理は、数学のすべてを説明する公理セットを作ることが不可能であることを証明するものであり、数学者にとって重要なものです。
