ヒルベルトの問題とは：23の未解決数学問題とミレニアム懸賞問題への影響
ヒルベルトの23の未解決問題とその数学史的影響、未解決項目やミレニアム懸賞問題への繋がりをわかりやすく解説。
1900年、数学者ヒルベルトは23の未解決数学問題のリストを発表した。このリストは非常に大きな影響力を持つことになった。ヒルベルトの死後、彼の著作の中から別の問題が発見され、今日「ヒルベルトの24番目の問題」と呼ばれることがある。この問題は、ある問題の解が最も簡単であることを示す基準を見つけるというものである。
この23の問題のうち、2012年時点で未解決のものが3つ、曖昧で解けないものが3つ、部分的に解けるものが6つであった。この問題の影響力の大きさから、クレイ数学研究所では2000年に「ミレニアム懸賞問題」と呼ばれる同様のリストを策定している。
背景と概要
ヒルベルトが提示した23の問題は、当時の数学の主要分野（解析、代数、幾何、数論、論理など）を広くカバーしており、「20世紀の数学の研究課題」とも呼べる性質を持ちます。問題の中には具体的な命題として明確に定式化できたものもあれば、当時の数学の基礎や公理体系に関わる深い問いかけの形をとるものもありました。
代表的な問題とその帰結
- リーマン予想（素数分布とゼータ関数に関する問題）は、ヒルベルトの問題の中でも特に有名で、現在も未解決です。解析的整数論や数値計算の重要な焦点になっています。
- 連続体仮説（Cantor の問題）のように、与えられた公理系（例えば ZFC）では命題の真偽が決定できない（独立である）ことが判明したものがあります。クルト・ゲーデルは理論的一貫性の下で連続体仮説が否定できないことを示し（1940年頃）、ポール・コーエンは強制法を用いて連続体仮説が証明できないことを示しました（1963年）。
- ディオファントス方程式の可解性（ヒルベルトの第10問題）は、ユーリ・マチヤセヴィチが1970年に決定不能であることを示し、有限手続きでは一般の整数係数多変数方程式の解の有無を判定できないことが明らかになりました（Davis–Putnam–Robinson–Matiyasevich の理論）。
- 他の多くの問題は、個別に解決されたり、部分的な結果が得られたり、あるいは定式化の改良が必要だと分かったりしました。例として、立体の分割に関する問題は早くに解決されたものもありますし、数論や代数幾何の分野で重要な発展を生んだ問題もあります。
解決状況の概観（概念的なまとめ）
簡潔に言えば、23の問題の多くは20世紀を通じて数学者たちによって部分的または完全に解決されました。一方で、
- 公理体系に依存して「独立」だと判明した問題（連続体仮説など）
- 計算理論的に「決定不能」であると示された問題（第10問題など）
- 現在も未解決で活発に研究されている問題（リーマン予想など）
が混在しています。古典的な結果（例：Dehn による立体分割問題の研究や Gelfond–Schneider の超越数に関する定理、Matiyasevich の結果など）は、ヒルベルトの問題が数学の発展を強力に促した証拠です。
ヒルベルトの24番目の問題
ヒルベルトの未発表ノートから見つかった「第24の問題」は、証明の簡潔さや単純さを測る基準（証明理論における最適性や簡潔化）を求める問いです。これは当時の正式なリストには入っていませんでしたが、証明構造の理解や自動定理証明、数学的合理性の哲学的検討にとって示唆に富む内容です。
ミレニアム懸賞問題との関係
ヒルベルトの問題群は20世紀を通して数学の方向性に大きな影響を与えたため、2000年にクレイ数学研究所が発表した「ミレニアム懸賞問題」は明らかにヒルベルトの遺産を意識した現代版の挑戦状と言えます。ミレニアム問題は7つが選ばれ、賞金と関心を集めました。2000年代以降もミレニアム問題のうち1つ（ポアンカレ予想）は解決されましたが、その他は現在も研究対象として残されています。
影響と意義
ヒルベルトの23問題は、個別の解決自体だけでなく、「どのように数学的問題を定式化し、どの方法で解くべきか」という研究手法や視点を形作りました。公理化、計算可能性、代数的手法、位相的手法など多様な領域の発展を促し、現代数学の主要な潮流を方向づけた点で、その歴史的意義は非常に大きいと言えます。
参考として挙げられる主な事実：
- 連続体仮説は ZFC（ツェルメロ＝フレンケル集合論＋選択公理）に対して独立であることが示されている（Gödel、Cohen）。
- 第10問題は一般には決定不能である（Matiyasevich らの業績）。
- リーマン予想など、今日までに解決していない重要問題が残る。
ヒルベルトの問題は単なる「未解決問題の列挙」ではなく、数学の将来の研究テーマを提示し、研究者たちに長期的な目標を与え続けています。
概要
ある種の問題の定式化は他の問題より優れている。きれいに定式化されたヒルベルト問題のうち、問題3、7、10、11、13、14、17、19、20、21は、コンセンサスによって受け入れられる解を有している。一方、問題1、2、5、9、15、18+ 、および22は、部分的に受け入れられる解を持つが、それが問題を解決しているかどうかについては論争が存在する。
問題18のケプラー予想に対する解答は、コンピュータによる証明を用いています。これは、人間が読んでも妥当な時間内に証明できないため、議論を呼んでいる。
その結果、16、8（リーマン仮説）、12が未解決となった。この分類では、4,16,23は曖昧すぎて、解決済みとは言い難い。撤回された24もこの分類に入るだろう。6は、数学というより物理の問題と考えられる。
問題点一覧
ヒルベルトの23の問題とは
| 問題点 | 簡単な説明 | ステータス | 解決した年 |
| 第1回 | 選択の公理を含む、または含まないツェルメロ・フレンケル集合論において証明または反証が不可能であることが証明された（選択の公理を含む、または含まないツェルメロ・フレンケル集合論が矛盾しない、すなわち一方が他方の否定となるような二つの定理を含まないことが条件である）。これが問題の解決策となるかどうかについては、コンセンサスが得られていない。 | 1963 | |
| 第2回 | 算術の公理が矛盾しないことを証明しなさい。 | ゲーデルとゲンツェンの結果がヒルベルトの述べた問題の解を与えるかどうかについては、意見が一致していない。ゲーデルの第二不完全性定理（1931年）は、算術そのものの中ではその無矛盾性の証明ができないことを示したものである。ゲンツェンの一貫性証明（1936年）は、算術の一貫性が序数ε0 のwell-foundednessから導かれることを示したものである。 | 1936? |
| 3位 | 同じ体積の2つの多面体があるとき、最初の多面体を有限個の多面体片に切断し、それを組み立てて2番目の多面体を作ることは常に可能だろうか？ | 解決済み。結果: いいえ、Dehn 不変量を用いて証明しました。 | 1900 |
| 第4 | 線が測地線であるすべてのメトリクスを構築する。 | 漠然としすぎていて、解決済みと記載されているのか、そうでないのかわからない。 | - |
| 5位 | 連続グループは自動的に差分グループになるのか？ | 原文の解釈により、Andrew Gleasonまたは山辺英彦によって解決された。ただし、Hilbert-Smith予想と同等と理解した場合は、まだ未解決である。 | 1953? |
| 6日 | 物理学のすべてを公理化する | 一部解決済み。 | - |
| 7日 | 代数的a≠0,1、非理数的代数的bに対して、a は b超越的であるか？ | 解決済み。結果：はい、Gelfondの定理またはGelfond-Schneiderの定理で説明されます。 | 1934 |
| 8日 | リーマン仮説（「リーマンのゼータ関数の自明でないゼロの実部は1/2である」）とその他の素数問題（特にゴールドバッハ予想と双子素数予想）。 | 未解決です。 | - |
| 9日 | 任意の代数的数列における相反性定理の最も一般的な法則を求める。 | 一部解決済み。 | - |
| 十日 | 与えられた整数係数の多項式ディオファントス方程式が整数解を持つかどうかを判定するアルゴリズムを求めよ． | 解決済みです。結果：不可能、Matiyasevichの定理により、そのようなアルゴリズムは存在しないことが示唆された。 | 1970 |
| 十一 | 代数的な数値係数を持つ2次形式の解法。 | 一部解決済み。[] | - |
| 12日 | 有理数の abelian 拡大に関する Kronecker-Weber の定理を任意の基底数場に拡張する。 | Kronecker-Weberの定理ほど明確ではないが、クラス場の理論によって部分的に解決される。 | - |
| 第13回 | 2パラメータの連続関数を用いた7次方程式の解法。 | 未解決。この問題は、アンドレイ・コルモゴロフの研究に基づいて、ウラジミール・アーノルドが部分的に解決した。 | 1957 |
| 第14回 | 多項式環に作用する代数群の不変量環は常に有限生成か？ | 解決済み。結果: いいえ、反例は永田雅義氏によって作られました。 | 1959 |
| 第15回 | シューベルトの列挙型微積分の厳密な基礎。 | 一部解決済み。[] | - |
| 第16回 | 実代数曲線に由来する楕円と、平面上の多項式ベクトル場の極限サイクルとしての楕円の相対位置を説明することができる。 | 未解決です。 | - |
| 17日 | 定常有理関数の二乗和の商としての表現 | エミール・アーティンとチャールズ・デルゼルによって決議された。結果必要な二乗項数の上限を設定した。下限値を求めるのはまだ未解決の問題である。 | 1927 |
| 十八番 | (a) 3次元で異相面体タイリングのみを許す多面体はあるか？(b) | (a)決議された。結果：はい（Karl Reinhardtによる）。 | (a) 1928年 |
| 19日 | ラグランジュの解は常に解析的か？ | 解決済み。結果：はい，Ennio de GiorgiとJohn Forbes Nashによって，それぞれ別の方法で証明されました． | 1957 |
| 20日 | ある境界条件を持つ変分問題はすべて解を持つのでしょうか？ | 解決済み。20世紀を通じて重要な研究テーマであり、非線形の場合の解決法[] を完成させた。 | - |
| 21日 | 所定のモノドロミック群を持つ線形微分方程式の存在証明 | 解決済みです。結果問題のより厳密な定式化によって、イエスまたはノーとなる。[] 。 | - |
| 第22回 | オートモルフィック関数による解析的関係の一様化 | 解決済み。[] | - |
| 第23回 | 変分計のさらなる発展 | 未解決です。 | - |
質問と回答
Q: 1900年に23の未解決数学問題のリストを発表したのは誰ですか?
A: デイヴィッド・ヒルベルトは1900年に23の未解決数学問題のリストを発表しました。
Q: ヒルベルトの24番目の問題は、元のリストに含まれていたのですか?
A: いいえ、ヒルベルトの24番目の問題は、ヒルベルトの死後、彼の著作の中から発見されました。
Q: ヒルベルトの24番目の問題とは何ですか?
A: ヒルベルトの24番目の問題は，ある問題の解が可能な限り最も簡単であることを示す基準を見つけることです．
Q: ヒルベルトのリストにある23の問題は2012年までにすべて解かれたのですか?
A: いいえ、ヒルベルトのリストにある23の問題のうち3つは、2012年には未解決でした。
Q:ヒルベルトのリストにある問題のうち、漠然としすぎていて解決できないものはありましたか?
A: はい、ヒルベルトのリストにあった問題のうち3つは漠然としすぎていて解決できませんでした。
Q:ヒルベルトのリストの中で、部分的に解決できる問題はいくつありましたか?
A: ヒルベルトのリストの問題のうち6つは部分的に解くことができた。
Q: クレイ数学研究所はヒルベルトの問題と同じようなリストを作りましたか?
A: はい、クレイ数学研究所は2000年にミレニアム賞問題と呼ばれる同様のリストを作成しました。
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