1900年、数学者ヒルベルトは23の未解決数学問題のリストを発表した。このリストは非常に大きな影響力を持つことになった。ヒルベルトの死後、彼の著作の中から別の問題が発見され、今日「ヒルベルトの24番目の問題」と呼ばれることがある。この問題は、ある問題の解が最も簡単であることを示す基準を見つけるというものである。

この23の問題のうち、2012年時点で未解決のものが3つ、曖昧で解けないものが3つ、部分的に解けるものが6つであった。この問題の影響力の大きさから、クレイ数学研究所では2000年に「ミレニアム懸賞問題」と呼ばれる同様のリストを策定している。

背景と概要

ヒルベルトが提示した23の問題は、当時の数学の主要分野（解析、代数、幾何、数論、論理など）を広くカバーしており、「20世紀の数学の研究課題」とも呼べる性質を持ちます。問題の中には具体的な命題として明確に定式化できたものもあれば、当時の数学の基礎や公理体系に関わる深い問いかけの形をとるものもありました。

代表的な問題とその帰結

  • リーマン予想（素数分布とゼータ関数に関する問題）は、ヒルベルトの問題の中でも特に有名で、現在も未解決です。解析的整数論や数値計算の重要な焦点になっています。
  • 連続体仮説（Cantor の問題）のように、与えられた公理系（例えば ZFC）では命題の真偽が決定できない（独立である）ことが判明したものがあります。クルト・ゲーデルは理論的一貫性の下で連続体仮説が否定できないことを示し（1940年頃）、ポール・コーエンは強制法を用いて連続体仮説が証明できないことを示しました（1963年）。
  • ディオファントス方程式の可解性（ヒルベルトの第10問題）は、ユーリ・マチヤセヴィチが1970年に決定不能であることを示し、有限手続きでは一般の整数係数多変数方程式の解の有無を判定できないことが明らかになりました（Davis–Putnam–Robinson–Matiyasevich の理論）。
  • 他の多くの問題は、個別に解決されたり、部分的な結果が得られたり、あるいは定式化の改良が必要だと分かったりしました。例として、立体の分割に関する問題は早くに解決されたものもありますし、数論や代数幾何の分野で重要な発展を生んだ問題もあります。

解決状況の概観（概念的なまとめ）

簡潔に言えば、23の問題の多くは20世紀を通じて数学者たちによって部分的または完全に解決されました。一方で、

  • 公理体系に依存して「独立」だと判明した問題（連続体仮説など）
  • 計算理論的に「決定不能」であると示された問題（第10問題など）
  • 現在も未解決で活発に研究されている問題（リーマン予想など）

が混在しています。古典的な結果（例：Dehn による立体分割問題の研究や Gelfond–Schneider の超越数に関する定理、Matiyasevich の結果など）は、ヒルベルトの問題が数学の発展を強力に促した証拠です。

ヒルベルトの24番目の問題

ヒルベルトの未発表ノートから見つかった「第24の問題」は、証明の簡潔さや単純さを測る基準（証明理論における最適性や簡潔化）を求める問いです。これは当時の正式なリストには入っていませんでしたが、証明構造の理解や自動定理証明、数学的合理性の哲学的検討にとって示唆に富む内容です。

ミレニアム懸賞問題との関係

ヒルベルトの問題群は20世紀を通して数学の方向性に大きな影響を与えたため、2000年にクレイ数学研究所が発表した「ミレニアム懸賞問題」は明らかにヒルベルトの遺産を意識した現代版の挑戦状と言えます。ミレニアム問題は7つが選ばれ、賞金と関心を集めました。2000年代以降もミレニアム問題のうち1つ（ポアンカレ予想）は解決されましたが、その他は現在も研究対象として残されています。

影響と意義

ヒルベルトの23問題は、個別の解決自体だけでなく、「どのように数学的問題を定式化し、どの方法で解くべきか」という研究手法や視点を形作りました。公理化、計算可能性、代数的手法、位相的手法など多様な領域の発展を促し、現代数学の主要な潮流を方向づけた点で、その歴史的意義は非常に大きいと言えます。

参考として挙げられる主な事実：

  • 連続体仮説は ZFC（ツェルメロ＝フレンケル集合論＋選択公理）に対して独立であることが示されている（Gödel、Cohen）。
  • 第10問題は一般には決定不能である（Matiyasevich らの業績）。
  • リーマン予想など、今日までに解決していない重要問題が残る。

ヒルベルトの問題は単なる「未解決問題の列挙」ではなく、数学の将来の研究テーマを提示し、研究者たちに長期的な目標を与え続けています。