ヘヴィサイド関数

Heaviside関数Hは、負の入力に対して0、正の入力に対して1の値をとる非連続関数である。

制御理論の数学で、ある時刻にスイッチが入り、無期限にスイッチが入ったままになる信号を表す関数である。英国人オリバー・ヘヴィサイドにちなんで命名された。

Heaviside関数はDiracδ関数の積分であり、H′＝δである。H′ = δ と書かれることもある。

Heavisideステップ関数、ハーフマキシマム規約使用時

離散形式

また、Heavisideステップ関数の別形式を離散変数nの関数として定義することも可能である。

H [ n ] = { 0 , n < 0 1 , n ≥ 0 {displaystyle H[n]={}begin{cases}0,&n<0}1,&ngeq 0}end{cases}}}. $H[n]={\begin{cases}0,&n<0\\1,&n\geq 0\end{cases}}$

ここで、nは整数である。

または

H ( x ) = lim z → x - ( ( | z | / z + 1 ) / 2 ) {displaystyle H(x)=lim _{zrightarrow x^{-}}((|z|/z+1)/2)} } ｛Displaystyle H(x)=lim _{zrightarrow x^{-}}((|z|/z+2)/2) $H(x)=\lim _{z\rightarrow x^{-}}((|z|/z+1)/2)$

離散時間単位インパルスは、離散時間ステップの最初の差分である

δ [ n ] = H [ n ] - H [ n - 1 ] .} $\delta \left[n\right]=H[n]-H[n-1].$

この関数は、クロネッカーデルタの累積和である。

H [ n ] = ∑ k = - ∞ n δ [ k ] {displaystyle H[n]=Thum _{k=-Θinfty }^{n}delta [k]\,} } {displaystyle H[n]=Thum _{k=-Θinfty }^{n}delta [k]</displaystyle $H[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]\,$

どこ

δ [ k ] = δ k , 0 {displaystyle \delta [k]=Thresholddelta _{k,0}, } }. $\delta [k]=\delta _{k,0}\,$

は離散単位インパルス関数である。

表現方法

多くの場合、Heavisideステップ関数の積分表現が有効である。

H ( x ) = lim ϵ → 0 + - 1 2 π i ∫ - ∞ 1 τ + i x τ d τ = lim ϵ → 0 + 1 2 π i ∫ - ∞ 1 τ - i ϵ e i x τ d τ .{H(x)=Thinklim _{Epsilon \to 0^{+}}-{1 \over 2pi \mathrm {i}.}int _{-̮infty}^{1 ┣︎┣︎┣︎┣︎┣︎┣︎┣︎쇼\Ίτανα για για για^{-͈ω-͈ˋ} xtau } }mathrm {d}.\Ίτ = ΊLim _{epsilon Ίto 0^{+}}{1 τover 2 π Ίmathrm {i} Ίτ = ˊᵕˋ}int _{-͈༝}^{ ⑅⃝ ⑅⃝ ⑅⃝ -⑅⃝mathrm {i} ⑅⃝mathrm {i｝\Ίτανα για για για^{mathrm {i} xtau } } }mathrm {d} .\tau .} $H(x)=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}-{1 \over 2\pi \mathrm {i} }\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau +\mathrm {i} \epsilon }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\tau }\mathrm {d} \tau =\lim _{\epsilon \to 0^{+}}{1 \over 2\pi \mathrm {i} }\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau -\mathrm {i} \epsilon }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x\tau }\mathrm {d} \tau .$

H(0)

0における関数の値は、H(0)=0、H(0)=1/2、H(0)=1として定義することができる。

H ( x ) = 1 + sgn ( x ) 2 = { 0 , x < 0 1 2 , x = 0 1 , x > 0.{\displaystyle H(x)={\frac {1+\operatorname {sgn}(x)}{2}}={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0.\end{cases}}} $H(x)={\frac {1+\operatorname {sgn}(x)}{2}}={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0.\end{cases}}$

質問と回答

Q: Heaviside関数とは何ですか?

A: Heaviside関数は負の入力に対して値が0、正の入力に対して値が1となる非連続関数です。

Q: なぜ制御理論でHeaviside関数が使われるのですか?

A: ヘビサイド関数は、制御理論において、指定された時間にスイッチが入り、無期限にスイッチが入ったままになる信号を表すために使用されます。

Q: Heaviside関数の名前の由来となった人物は誰ですか?

A: Heaviside関数は英国人Oliver Heavisideにちなんで命名されました。

Q: Heaviside関数とディラック・デルタ関数の関係は?

A: Heaviside関数はディラック・デルタ関数の積分です: H′(x)=δ(x).

Q: 正の入力に対してHeaviside関数は何を出力するか?

A: Heaviside関数は正の入力に対して1を出力する．

Q: Heaviside関数は負の入力に対して何を出力するか?

A: Heaviside関数は負の入力に対して0を出力する。

Q: Heaviside関数はどのような関数か?

A: Heaviside関数は非連続関数です。