微積分では、積分とは方程式のグラフの下の空間のことである（「曲線の下の面積」と言われることもある）。積分は微分の逆であり、微分積分の反対語である。微分とは、曲線の急峻さ（または「傾き」）の変化率のことである。また、「積分」という言葉は、「整数に関連する」という意味の形容詞として使われることもあります。

積分の記号は、微積分では、∫ {displaystyle \int _{\,}^{\,}}を{\displaystyle \int _{\,}^{\,}}背の高い文字"S"に見立てたものである。この記号はゴットフリード・ウィルヘルム・ライプニッツが最初に使った。(summa、ラテン語でsumの意味)で、y = f(x)のような方程式でカバーされる面積の総和を意味します。

積分は 問題に単位を乗算しようとするときに 役に立ちます。例えば、レートの問題ならば、 ( distance time ) {\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}right)}。{\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)}が距離だけで答えが必要な場合は、時間を基準にして積分するのが一つの解法だ。(distance time) × time (distance time)で 時間を打ち消すように 時間を掛けていくことだ。{\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}}.これは、レートグラフの小さなスライスを一緒に追加することで行われます。スライスの幅はゼロに近いですが、それらを永遠に足し合わせると全体になります。これはリーマン和と呼ばれています。

これらのスライスを足し合わせると、最初の式の導関数となる式が得られます。積分は、たくさんの小さなものを手で足し合わせるようなものです。それは、1 + 2 + 3 + 4を足した和のようなものだ....+ n {displaystyle 1....} .{\displaystyle 1+2+3+4....+n}間にあるすべての小数と分数を足さなければならないことだ。

固体の体積を求めるときに、積分が役立つもう一つの方法があります。これは、幅があるまで、固体の二次元（幅のない）スライスを永遠に一緒に追加することができます。これは、オブジェクトが3次元になったことを意味します：元の2つと幅です。これは、記述されている三次元物体の体積を与えます。

積分の種類と記法

定積分は区間 [a, b] における面積のような「有限の合計」を表します。記号では通常

∫_a^b f(x) dx

の形で書き、これは関数 f(x) を区間 a から b まで積分することを意味します。ここで dx は独立変数 x に関する「非常に小さな幅」を表す記号です。

不定積分（原始関数、または反導関数）は、ある関数 f の導関数が f になるような関数 F を求める操作です。記法は

∫ f(x) dx = F(x) + C

で、C は積分定数（任意定数）です。

微積分の基本定理

微積分の基本定理は積分と微分の関係を明確にします。主に二つの部分があります：

  • （第一部）F(x) = ∫_a^x f(t) dt と定義すると、F'(x) = f(x) が成り立ちます。すなわち、積分を x まで累積した関数を微分すると元の関数に戻る。
  • （第二部）もし F'(x) = f(x) となる原始関数 F が存在すれば、定積分は評価の差で求められます：

    ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

リーマン和と極限

定積分はリーマン和の極限として定義できます。区間 [a, b] を n 個の小区間に分割して、それぞれの区間で関数値 f(x_i*) に区間幅 Δx_i を掛けた和

Σ f(x_i*) Δx_i

を取ります。分割を細かくしていき（max Δx_i → 0）、その極限が存在すればそれが定積分 ∫_a^b f(x) dx です。これにより「無限に小さい幅の長方形を無限に足す」直感が厳密化されます。

面積・体積の求め方（応用）

  • 面積：x 軸と曲線 y = f(x)、区間 [a, b] の下の面積は ∫_a^b f(x) dx。二つの曲線 y = f(x) と y = g(x) の間の面積は ∫_a^b |f(x) − g(x)| dx で与えられます（通常は上下どちらが上かを確認して差を取ります）。
  • 体積（切片法）：立体を垂直な薄い断面（面積 A(x)）で表せる場合、体積 V は ∫_a^b A(x) dx で求められます。円盤法（ディスク）、ワッシャー法（穴あき円盤）、円柱殻法（シェル法）などが代表的です。
  • 仕事や距離：速度 v(t) の積分 ∫ v(t) dt は変位を与え、力 F(x) を距離に沿って積分すると仕事 W = ∫ F(x) dx になります。

積分の性質と計算法

  • 線形性：∫ (a f(x) + b g(x)) dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx。
  • 区間分割：∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx = ∫_a^b f(x) dx。
  • 置換積分（チェーンルールの逆）：x = φ(u) の変換を使って積分を簡単にする方法。
  • 部分積分（積の微分法の逆）：∫ u dv = u v − ∫ v du。
  • 部分分数分解、三角置換、数値積分（台形則、シンプソン法など）も重要です。

その他の概念

  • 不定積分は原始関数の全体を表し、定積分は実際の数値（面積や体積などの量）を返します。
  • 広義積分（無限区間や特異点がある場合）は収束性の判定が必要です（畳み込み、比較判定など）。
  • 多重積分（重積分）は二次元・三次元の領域での体積や質量の計算に用いられ、順序の交換や極座標・球座標などの座標変換が役立ちます。

まとめ（実用上の注意）

積分は「小さな寄与を総和して全体を得る」ための基本的な道具であり、微分とは逆向きの操作です。記号 ∫ は和（summa）を表す由来があり、リーマン和を通じて厳密に定義されます。面積・体積・距離・仕事・確率など、多くの応用分野で不可欠な概念です。計算には基本的な原始関数の知識に加え、置換や部分積分などのテクニック、場合によっては数値的手法が必要になります。