積分法

微積分では、積分とは方程式のグラフの下の空間のことである(「曲線の下の面積」と言われることもある)。積分は微分の逆であり、微分積分の反対語である微分とは、曲線の急峻さ(または「傾き」)の変化率のことである。また、「積分」という言葉は、「整数に関連する」という意味の形容詞として使われることもあります。

積分の記号は、微積分では、∫ {displaystyle \int _{\,}^{\,}}を{\displaystyle \int _{\,}^{\,}}背の高い文字"S"に見立てたものである。この記号はゴットフリード・ウィルヘルム・ライプニッツが最初に使った。(summaラテン語でsumの意味)で、y = f(x)のような方程式でカバーされる面積の総和を意味します。

積分と微分は微積分と呼ばれる数学の一部門に属しています。この2つの関係は非常に重要で、微積分の基本定理と呼ばれています。この定理によると、積分は微分によって反転することができ、これは足し算が引き算によって反転するのと似ています。

積分は 問題に単位を乗算しようとするときに 役に立ちます。例えば、レートの問題ならば、 ( distance time ) {\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}right)}。{\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)}が距離だけで答えが必要な場合は、時間を基準にして積分するのが一つの解法だ。(distance time) × time (distance time)で 時間を打ち消すように 時間を掛けていくことだ。{\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}}.これは、レートグラフの小さなスライスを一緒に追加することで行われます。スライスの幅はゼロに近いですが、それらを永遠に足し合わせると全体になります。これはリーマン和と呼ばれています。

これらのスライスを足し合わせると、最初の式の導関数となる式が得られます。積分は、たくさんの小さなものを手で足し合わせるようなものです。それは、1 + 2 + 3 + 4を足した和のようなものだ....+ n {displaystyle 1....} .{\displaystyle 1+2+3+4....+n}間にあるすべての小数と分数を足さなければならないことだ。

固体の体積を求めるときに、積分が役立つもう一つの方法があります。これは、幅があるまで、固体の二次元(幅のない)スライスを永遠に一緒に追加することができます。これは、オブジェクトが3次元になったことを意味します:元の2つと幅です。これは、記述されている三次元物体の体積を与えます。

Zoom

積分とは、a, b, y = f(x)が与えられたとき、曲面sを求めることです。上図のaからbへの積分の公式は次のようになります。
    式は   ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int limits _{a}^{b}f(x)dx}
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}Zoom

インテグラル(動画)とはZoom
インテグラル(動画)とは

統合の方法

アンチダービティブ

微積分の基本定理では、積分は反微分である。

関数2 x {displaystyle 2x}を取ると{\displaystyle 2x}例えば、2 x {\displaystyle 2x}の積分が x 2 {\displaystyle x^{2}}{\displaystyle 2x}であると言うことができる。{\displaystyle x^{2}}.積分はなく積分言うのは、関数の反微分は一意ではないからである。例えば、x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17{\displaystyle x^{2}+17}} は、2 x {\displaystyle 2x}{\displaystyle 2x} にも微分する。このため、反微分をとるときには、定数Cを加えなければならない。これを不定積分と呼ぶ。これは、関数の微分を求めるとき、定数が0になるからである。

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15,} .{\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,}

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0{\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,}{displaystyle f'(x)=10x+9+0,} .0に注意:微分だけでは見つけられないので、積分は

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C{\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} {\displaystyle

シンプルな方程式

y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}}の{\displaystyle y=x^{2}}ような単純な方程式は、次の技法を使って、xに関して積分することができる。積分するには、xが上げられた乗に1を加えて、xをこの新しい乗の値で割る。したがって、正規方程式の積分は次のようになる。 ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{,}^{,}x^{n}dx={frac {x^{n+1}}{n+1}+C}}。 {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}

最後のd x {\displaystyle dx}{\displaystyle dx}は、xに対して積分していること、つまりxが変化すると積分していることを示している。これは微分の逆であることがわかる。しかし、積分するときには定数Cというものが加わります。これは積分の定数と呼ばれています。これは,整数を微分するとゼロになるので,ゼロを積分するとCという整数が得られるからです.

複数の項を持つ方程式は、個々の項を統合することで単純に統合されます。

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 - 2 x + C {displaystyle int _{\,}^{.♪x^{2}+3x-2dx=int _\{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{3xdx-\int _{\,}^{3xdx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}-2x+C}. {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C}

e と ln を含む統合

eと自然対数を使った積分には、ある規則がある。最も重要なことは、e x {displaystyle e^{x}}{\displaystyle e^{x}}は、それ自体の積分(積分の定数を加えたもの)であることである: ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle int _{,}^{,}e^{,}e^{x}dx=e^{x}+C} {\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C}

自然対数lnは、1 / x {\displaystyle 1/x{\displaystyle 1/x}} を持つ方程式を積分するときに便利である。これらは、上の式(乗に1を足して、乗で割る)では積分できない。その代わり、1/xの積分はln x {\displaystyle 1/x}{\displaystyle 1/x}{\displaystyle \ln x}{\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C}

もっと一般的な形で∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}}dx=ln {|f(x)|}+C} {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C}

2本の縦棒は絶対値を示し、f ( x ) {\displaystyle f(x)}f(x)の符号(正負)は無視される。これは、負の数の自然対数には値がないからである。

物件情報

関数の和

関数の和の積分とは、各関数の積分の和である。

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]d x=int \limits _{a}^{b}f(x)Dx+\,dx+int limits _{a}^{b}g(x)Dx} .{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx}

その証明は簡単です。積分の定義は和の極限である。したがって

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) )♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)}

∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ) { } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})}

= ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})}

∫a b f ( x ) d x + ∫a b g ( x ) d x {\displaystyle =int limits _{a}^{b}f(x)Dx+\,dx+int ¶int ¶limits _{a}^{b}g(x)Dx} {\displaystyle =int リミッツ _{a}^{b}f(x)Dx {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx}

どちらの積分も同じ限界を持っていることに注意してください。

統合における定数

定数が関数を伴った積分の中にあるとき、その定数を取り出すことができる。さらに、定数cが関数を伴わない場合、その値はc * xとなります。

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle int リミッツ _{a}^{b}cf(x)

これは定数でしかできません。

∫ a b b c c d x = c ( b - a ) {\displaystyle {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)}

証明は再び積分の定義によるものです。

その他

a, b, c が順番に(すなわち、x軸上で互いに後から)並んでいる場合、点aから点bへのf(x)の積分と点bから点cへのf(x)の積分は、点aから点cへの積分に等しくなります。

∫a b f ( x ) d x + ∫b c f ( x ) d x = ∫a c f ( x ) d x {displaystyle int \ limits _{a}^{b}f(x)x+int \,dx=int limits _{b}^{c}f(x)x=int limits _{a}^{c}f(x)x}{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx} if they are in order.(これは、a,b,cが順番でない時も、∫a b f ( x ) d x = - ∫b a f ( x ) d x {\displaystyle int \limits _{a}^{b}f(x)x,dx{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx}=int ➡int ➡int ➡int ➡int ➡int ➡int ➡int ➡int ➡int ➡int ➡int ➡int ➡int ➡int ➡int ➡int ➡int ➡int ➡tt

∫ a a f ( x ) d x = 0 {displaystyle \int リミッツ _{a}^{a}f(x){\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0}これは微積分の基本定理(FTC)に従う。F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle ➡︎ ➡︎ ➡︎ ➡︎ ➡︎ ➡︎ ➡︎ ➡︎ ➡︎ ➡︎ ➡︎ ➡︎ ➡︎{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx}またしてもFTCに倣ってF (b ) - F (a ) = - [ F (a ) - F (b ) ] {\displaystyle F(b) -F(a)=-[F(a) -F(b) ]} } {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]}


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