超立方体（ハイパーキューブ）とは？定義・性質・n次元立方体の概要

超立方体（ハイパーキューブ）の定義・性質を図解と数式でわかりやすく解説。n次元立方体の概要、対角線長や応用例まで丁寧に紹介。

幾何学では、超立方体は正方形（n = 2）と立方体（n = 3）のn次元の類似体である。超立方体は、空間の各次元で互いに垂直で同じ長さの平行な線分のグループからなる、閉じたコンパクトな凸形の図形である。単位超立方体の n 次元における最長の対角線の長さは、{\displaystyle {\sqrt{n}}}である。.

n次元超立方体は、しばしば n-立方体 や n-次元立方体 と呼ばれる。歴史的には「メジャー・ポリトープ（measure polytope）」という用語も用いられ、H. S. M. コクセターらの著作で言及されることがある。

超立方体は一般には超直方体（n-orthotope）の特殊な例である。特に辺の長さが等しいものは正則多面体の一種として扱われ、シュレーフリ記号で {4,3,…,3} と表される。

定義と座標表示

単位超立方体とは、各辺の長さが1である超立方体を指すことが多い。標準的な表現は以下の通りである。

• 単位超立方体（集合表示）: [0,1]^n = {(x1,…,xn) | 0 ≤ xi ≤ 1 (i=1,…,n)}。
• 原点中心の表現: {±1/2}^n や {−1,+1}^n を適当なスケーリングで用いることもある。

基本的な性質（数え上げと計量）

• 頂点の個数: 2^n。
• 辺の本数: n·2^{n-1}（各頂点から n 本の辺が出ているが、二重数えを避ける）。
• 面（2次元の面）の個数や一般の k 次元の面（k-face）の個数は一般式で表せる:
  k 次元の面の数 = 2^{\,n-k} · C(n,k)（ここで C(n,k) は組合せ数）。
• （n−1）次元の「側面」（f facets）の個数（つまり面の次元が n−1）は 2n である。
• 体積（n次元測度）: 辺長を a とすると体積は a^n。単位超立方体では体積 = 1。
• 対角線の長さ: 単位超立方体の最長対角線の長さは √n（ピタゴラスの定理の一般化）。

位相と対称性

超立方体は凸多胞体で、その境界は（n−1）次元球面 S^{n−1} と同相であるため、境界のオイラー標数は S^{n−1} の値に一致する。超立方体は非常に対称性が高く、対称群は ハイパーキューブ群（hyperoctahedral group） と呼ばれ、置換と符号反転（座標ごとの ± の変換）からなり、その位数は 2^n n! である。

双対体（双対多面体）と正則性

n次元超立方体の双対（極多面体）は 交互体（クロス・ポリトープ、orthoplex） と呼ばれ、3次元では立方体と八面体が双対関係にあることと対応する。正則多胞体の一種であり、シュレーフリ記号は {4,3,…,3} で表現される。

低次元の例

• n = 0: 0次元立方体は単一の点（頂点数 1）。
• n = 1: 1次元立方体は線分（頂点数 2、辺数 1）。
• n = 2: 正方形（頂点 4、辺 4、面 1）。
• n = 3: 立方体（頂点 8、辺 12、面（2次元面）6）。
• n = 4: テッセラクト（四次元超立方体、頂点 16、辺 32、立方体の側面 8 個など）。

応用と関連分野

• コンピュータサイエンス: ハイパーキューブ構造は並列計算やネットワークトポロジで用いられる（ハイパーキューブグラフ Q_n）。
• 確率・解析: 単位超立方体 [0,1]^n は多変量一様分布や数値積分（モンテカルロ積分、格子点法）の基本領域として使われる。
• 組合せ論: 0–1 ベクトル集合 {0,1}^n としての扱いはブール代数やハミング距離、符号理論と関連する。
• 可視化と幾何学的直観: 高次元の理解や投影、断面図（スライス）を通じた可視化研究に頻出する。

その他の一般化

超立方体は辺長が等しい正則なケースだが、辺長が異なる直方体（超直方体、orthotope）への一般化や、格子点や多面体の合同・分割問題、距離の性質（各種ノルム下での直径など）へ発展させることができる。

以上は超立方体（ハイパーキューブ）の主要な定義・性質・n次元に関する概要である。具体的な計算例や可視化手法、応用分野ごとの詳細はそれぞれの専門領域に応じてさらに展開できる。

建設

超立方体は、形状の寸法の数を増やすことで定義することができます。

0 - 点は次元0の超立方体である．

1 - この点を1単位の長さで動かすと、1次元の単位超立方体である線分が一掃されます。

2 - この線分をそれ自身から垂直な方向に移動させると、2次元の正方形を掃き出す。

3 - 正方形の単位長さを平面に垂直な方向に移動させると、3次元立方体ができあがる。

4 - 立方体を1単位の長さを4次元に移動させると、4次元の単位超立方体（単位四次元立方体）が生成される。

これは、任意の数の次元に一般化することができる。d次元超立方体は、相互に垂直なd個の単位長さの線分のミンコフスキー和であり、ゾノトープの例である。

超立方体の1-骨格は超立方体グラフである。

点から四次元立方体を作る方法を紹介する動画。


点から四次元立方体を作る方法を示す図。

質問と回答

Q:超立方体とは何ですか?

Q: n 次元超立方体の最長の対角線は何ですか?

Q:n次元超立方体を表す他の用語はありますか?

Q:「単位超立方体」とはどういう意味ですか?

Q:「超矩形」をどのように定義すればよいのでしょうか?

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